Classifique cada uma das superfícies abaixo como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e faça um esboço representativo no espaço tridimensional. Justifique sua classificação com base na forma da equação.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície dada por
como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e fazer um esboço. Vamos usar a teoria de sinais dos coeficientes na forma canônica para identificar o tipo de quadrico e, em seguida, analisar seções planas para entender seu formato.
Passo 2
Reescrevemos a equação em forma canônica e anotamos os sinais dos termos quadráticos:
Temos dois termos com sinal positivo e um termo com sinal negativo, tudo igualado a
.
Passo 3
Pela classificação de quádricas em
:
- Se dois coeficientes são positivos e um é negativo, e o lado direito é positivo, trata-se de um hiperbolóide de uma folha.
- Para confirmar que é de uma folha só, observemos a seção por um plano
constante:
que para qualquer
real dá uma elipse com semi-eixos
. Como há elipses para todo
, a superfície é conectada (uma só folha) e “incha” à medida que
cresce.
Passo 4
Para esboçar qualitativamente:
- O eixo de simetria é o eixo
. - No plano
surge a elipse . - Para
, as elipses crescem, formando uma “cintura” mínima em e alargando-se para cima e para baixo.
Desenhe o eixovertical, com elipses centradas na origem e aumentando de tamanho conforme se afasta de .
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha.