(2,50) Classifique cada uma das superfícies abaixo como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e faça um esboço representativo no espaço tridimensional. Justifique sua classificação com base na forma da equação.
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}-z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície dada por
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}-z^{2}=1
como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e fazer um esboço. Vamos usar a teoria de sinais dos coeficientes na forma canônica para identificar o tipo de quadric­o e, em seguida, analisar seções planas para entender seu formato.

Passo 2

Reescrevemos a equação em forma canônica e anotamos os sinais dos termos quadráticos:
\frac{x^{2}}{16} \;(+)\;+\;\frac{y^{2}}{9}\;(+)\;-\;z^{2}\;(-)\;=\;1.
Temos dois termos com sinal positivo e um termo com sinal negativo, tudo igualado a +1.

Passo 3

Pela classificação de quádricas em \mathbb{R}^3:
  • Se dois coeficientes são positivos e um é negativo, e o lado direito é positivo, trata-se de um hiperbolóide de uma folha.
  • Para confirmar que é de uma folha só, observemos a seção por um plano z=\bar z constante:
\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1+(\bar z)^{2},
que para qualquer \bar z real dá uma elipse com semi-eixos \bigl(4\sqrt{1+\bar z^{2}},\,3\sqrt{1+\bar z^{2}}\bigr). Como há elipses para todo \bar z, a superfície é conectada (uma só folha) e “incha” à medida que |z| cresce.

Passo 4

Para esboçar qualitativamente:
  • O eixo de simetria é o eixo z.
  • No plano z=0 surge a elipse \tfrac{x^{2}}{16}+\tfrac{y^{2}}{9}=1.
  • Para z\neq0, as elipses crescem, formando uma “cintura” mínima em z=0 e alargando-se para cima e para baixo.
    Desenhe o eixo z vertical, com elipses centradas na origem e aumentando de tamanho conforme se afasta de z=0.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha.

Exercícios relacionados