Determine, em cada item, os valores de a e b que satisfazem as condições dadas.
O plano a x+b y+5 z=0 é paralelo ao plano x+2 y-3 z=5.

Passo 1

O enunciado pede os valores de a e b tais que o plano
a x + b y + 5 z = 0
seja paralelo ao plano
x + 2 y - 3 z = 5.
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3, e vamos precisar usar a condição de paralelismo entre planos.

Passo 2

Dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são colineares.
O vetor normal do plano a x + b y + 5 z = 0 é
\mathbf{n}_1 = (a,\,b,\,5),
e o vetor normal do plano x + 2 y - 3 z = 5 é
\mathbf{n}_2 = (1,\,2,\,-3).

Passo 3

Colinearidade implica que existe um escalar \lambda tal que
(a,\,b,\,5) = \lambda\,(1,\,2,\,-3).
Isso gera o sistema de equações:
a = \lambda,\quad b = 2\lambda,\quad 5 = -3\lambda.

Passo 4

Da terceira equação \,5 = -3\lambda, obtemos
\lambda = -\frac{5}{3}.
Substituindo em a = \lambda e b = 2\lambda, vem
a = -\frac{5}{3}, \quad b = 2 \cdot \Bigl(-\frac{5}{3}\Bigr) = -\frac{10}{3}.

Resposta

a = -\tfrac{5}{3}, b = -\tfrac{10}{3}.

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