(2,50) Classifique cada uma das superfícies abaixo como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e faça um esboço representativo no espaço tridimensional. Justifique sua classificação com base na forma da equação.
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1
e pede para classificá-la entre as quádricas usuais (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e esboçar no espaço. Vamos usar a forma canônica das quádricas para identificar o tipo.

Passo 2

Compare com a forma geral de um elipsóide em coordenadas canônicas:
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1.
Aqui vemos que a^{2}=9, b^{2}=4 e c^{2}=1.
Sabendo que todos os coeficientes das parcelas quadráticas são positivos e que a soma delas iguala 1, trata-se de uma superfície fechada e limitada em todas as direções: é exatamente um elipsóide.

Passo 3

Para orientar o esboço, identificamos os interceptos nos eixos coordenados:
(x,0,0) = (\pm 3,0,0),\quad (0,y,0) = (0,\pm 2,0),\quad (0,0,z) = (0,0,\pm 1).
Em cada plano coordenado as seções são elipses com semieixos dados por esses valores.
Descrevendo o esboço: desenhe os eixos x, y e z. Marque em x os pontos \pm 3, em y \pm 2 e em z \pm 1. Em seguida trace uma superfície oval fechada que passe por esses seis pontos, mostrando as elipses de contorno em cada plano coordenado.

Resposta

Elipsóide.

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