Classifique cada uma das superfícies abaixo como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e faça um esboço representativo no espaço tridimensional. Justifique sua classificação com base na forma da equação.
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede para classificá-la entre as quádricas usuais (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e esboçar no espaço. Vamos usar a forma canônica das quádricas para identificar o tipo.
Passo 2
Compare com a forma geral de um elipsóide em coordenadas canônicas:
Aqui vemos que
,
e
.
Sabendo que todos os coeficientes das parcelas quadráticas são positivos e que a soma delas iguala 1, trata-se de uma superfície fechada e limitada em todas as direções: é exatamente um elipsóide.
Sabendo que todos os coeficientes das parcelas quadráticas são positivos e que a soma delas iguala 1, trata-se de uma superfície fechada e limitada em todas as direções: é exatamente um elipsóide.
Passo 3
Para orientar o esboço, identificamos os interceptos nos eixos coordenados:
Em cada plano coordenado as seções são elipses com semieixos dados por esses valores.
Descrevendo o esboço: desenhe os eixos ,
e
. Marque em
os pontos
, em
e em
. Em seguida trace uma superfície oval fechada que passe por esses seis pontos, mostrando as elipses de contorno em cada plano coordenado.
Descrevendo o esboço: desenhe os eixos
Resposta
Elipsóide.