2,252 - Use a transformada de Laplace para determinar a saida de um sistema representado pela equação diferencial
Em resposta a entrada . Assuma que as condições iniciais do sistema são:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa usar a Transformada de Laplace para encontrar a saída de um sistema que é descrito por uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação:
A entrada é (a função degrau de Heaviside). Também temos as condições iniciais:
Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela trata derivadas, e saber aplicar as condições iniciais para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de uma derivada tem a seguinte propriedade:
Onde é a transformada de .
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Agora, vamos substituir as transformadas:
Para :
= s^2 Y(s) - s + 2
Para d y(t)dt :
s Y(s) - y(0^+) = s Y(s) - 1
Para d x(t)dt :
Sabemos que x(t) = u(t) , então d x(t)dt = de<a(t) , e sua transformada é: