2,252 - Use a transformada de Laplace para determinar a saida y(t) de um sistema representado pela equação diferencial
d^2 y(t)d t^2+3 d y(t)d t+2 y(t)=2 d x(t)d t+x(t)
Em resposta a entrada x(t)=u(t). Assuma que as condições iniciais do sistema são:
y(0^+)=1, d y(0^+)d t=-2 e x(0^+)=0 (2.5 pts)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa usar a Transformada de Laplace para encontrar a saída y(t) de um sistema que é descrito por uma equação diferencial. O enunciado nos dá a equação:
d^2 y(t)d t^2 + 3 d y(t)d t + 2 y(t) = 2 d x(t)d t + x(t)
A entrada é x(t) = u(t) (a função degrau de Heaviside). Também temos as condições iniciais:
y(0^+) = 1, d y(0^+)d t = -2, x(0^+) = 0
Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela trata derivadas, e saber aplicar as condições iniciais para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a transformada de uma derivada tem a seguinte propriedade:
L d^n y(t)d t^n = s^n Y(s) - s^n-1 y(0^+) - dots - y^(n-1)(0^+)
Onde Y(s) é a transformada de y(t) .
Aplicando isso na nossa equação:
L d^2 y(t)d t^2 + 3 L d y(t)d t + 2 L y(t) = 2 L d x(t)d t + L x(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir as transformadas:
Para d^2 y(t)dt^2 :
s^2 Y(s) - s y(0^+) - d y(t)dtg|t=0^+ = s^2 Y(s) - s cdot 1 - (-2)
= s^2 Y(s) - s + 2
Para d y(t)dt :
s Y(s) - y(0^+) = s Y(s) - 1
Para d x(t)dt :
Sabemos que x(t) = u(t) , então d x(t)dt = de<a(t) , e sua transformada é:
L de<a(t) = 1
A transformada de x(t) é:
L u(t) = 1s
Substituindo tudo na equação transformada:
(s^2 Y(s) - s + 2) + 3(s Y(s) - 1) + 2 Y(s) = 2 cdot 1 + 1s

Passo 4

Vamos simplificar e juntar os termos com Y(s) :
s^2 Y(s) - s + 2 + 3 s Y(s) - 3 + 2 Y(s) = 2 + 1s
(s^2 + 3 s + 2) Y(s) - s -1 = 2 + 1s
(s^2 + 3 s + 2) Y(s) = s +1 + 2 + 1s
(s^2 + 3 s + 2) Y(s) = s + 3 + 1s
Agora, isolamos Y(s) :
Y(s) = s + 3 + 1ss^2 + 3 s + 2

Passo 5

Vamos simplificar a fração:
Primeiro, escrevemos o numerador como uma única fração:
Y(s) = s^2 + 3 s +1s(s^2 + 3 s + 2)
Fatorando o denominador:
s^2 + 3 s + 2 = (s +1)(s +2)
Então:
Y(s) = s^2 + 3 s +1s (s +1)(s +2)
Agora, fazemos frações parciais:
s^2 + 3 s +1s (s +1)(s +2) = As + Bs+1 + Cs+2
Multiplicando ambos os lados por s (s +1)(s +2) :
s^2 + 3 s +1 = A (s +1)(s +2) + B s (s +2) + C s (s +1)
Para encontrar A, B, C , escolhemos valores de s :
  • s = 0 :
0 + 0 +1 = A (1)(2) Rightarrow A = 12
  • s = -1 :
1 -3 +1 = B (-1)(1) Rightarrow -1 = -B Rightarrow B =1
  • s = -2 :
4 -6 +1 = C (-2)(-1) Rightarrow -1 = 2 C Rightarrow C = -12
Então:
Y(s) = 12 s + 1s +1 - 12 (s +2)

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(t) :
Sabemos que:
L^-1 1s = 1
L^-1 1s + a = e^-a t
Aplicando isso:
y(t) = 12 cdot 1 + e^-t - 12 e^-2 t
y(t) = 12 + e^-t - 12 e^-2 t

Resposta

A saída do sistema é:
y(t) = 12 + e^-t - 12 e^-2 t

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