1,5 4 - Determine a transformada inversa, x[n], para a seguinte transformada Z e sua região de convergência associada: ( 2.5 pts )
X(z)=16 z^2-4 z+18 z^2+2 z-1 ,|z|>12

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Z
X(z)=16z^2-4z+18z^2+2z-1
com região de convergência |z|>tfrac12.
O conteúdo aqui é inversão de transformada de Z para uma sequência causal, usando divisão de polinômios e expansão em frações parciais.

Passo 2

Como o numerador e o denominador têm mesmo grau, fazemos divisão polinomial:
16z^2-4z+18z^2+2z-1 =2 ;+;-8z+38z^2+2z-1,

Passo 3

Fatoramos o denominador da parte própria e decompomos em frações parciais.
8z^2+2z-1 = 8,(z-tfrac14)(z+tfrac12),,
então queremos
-8z+38,(z-tfrac14)(z+tfrac12) =Az-tfrac14+Bz+tfrac12,
Multiplicando em cruz e igualando coeficientes, obtém-se
A=tfrac16, B=-tfrac76

Passo 4

Agora invertendo cada termo. Lembrando que para |z|>|a| vale
1z-a =sumn=1^inftya^,n-1z^-n Longrightarrow Z^-1!ltfrac1z-ar =a^,n-1u[n-1],,
e que a constante 2 em X(z) corresponde a 2,de<a[n].
Logo a sequência é
x[n] =2,de<a[n] +16,( tfrac14)^,n-1u[n-1] -76,l(-tfrac12r)^,n-1u[n-1]

Resposta

x[n] =2,de<a[n] + tfrac16,l(tfrac14r)^,n-1 -tfrac76,l(-tfrac12r)^,n-1,&n>=1, 0,&n<0, ROC: |z|>tfrac12

Exercícios relacionados