Demonstre os itens a seguir, supondo que
e
satisfazem a condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
(c)
., onde
e
é o normal à superfície.
(c)
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para uma região
com fronteira suave
e para
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vale
onde
. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial na fronteira com a divergência no volume.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Como as derivadas de segunda ordem de
são contínuas, podemos calcular a divergência de
:
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, para qualquer campo vetorial suficientemente suave em
com fronteira
orientada por
, temos
Substituindo
e
, obtemos
isto é,