Demonstre os itens a seguir, supondo que S e E satisfazem a condições do Teorema do Divergente e que as funções escalares e as componentes dos campos vetoriais tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
(c) integral dupla Dn f d S=integral triplaE nabla^2 f d V., onde Dn f=nabla f cdot n e n é o normal à superfície.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para uma região E com fronteira suave S e para f com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, vale
integral duplaSDnf,dS ;=;integral triplaEnabla^2f,dV,
onde Dnf=nabla fcdot n. O conteúdo principal é o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial na fronteira com a divergência no volume.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F ;=;nabla f
Como as derivadas de segunda ordem de f são contínuas, podemos calcular a divergência de F:
nablacdotF =nablacdot(nabla f) =nabla^2f

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, para qualquer campo vetorial suficientemente suave em E com fronteira S orientada por n, temos
integral duplaSFcdot n,dS =integral triplaEnablacdotF,dV
Substituindo F=nabla f e nablacdotF=nabla^2f, obtemos
integral duplaS(nabla fcdot n),dS =integral triplaEnabla^2f,dV,
isto é,
integral duplaSDnf,dS =integral triplaEnabla^2f,dV

Resposta

integral duplaSDnf,dS =integral triplaEnabla^2f,dV

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