25E (desafio) - Suponha que duas cargas positivas estejam distantes de um valor d (configuração espacial similar a um dipolo elétrico). Mostre que a expressão para o campo elétrico E num ponto P , sobre o eixo de um dipolo (se fosse um dipolo), considerando z >>d, é dado por
E=14 pi varepsilon0 2 qz^2

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que, no eixo que passa por duas cargas positivas +q separadas por uma distância d, o campo elétrico num ponto P a uma distância z muito maior que d (z >> d) vale E=1/(4πε₀)·(2q/z²). O conteúdo é eletrostática, usando a Lei de Coulomb para campo de carga pontual e uma aproximação via expansão binomial para z >> d.

Passo 2

Pela Lei de Coulomb, o campo de uma carga pontual +q a uma distância r é dado por:
E = 14 pi varepsilon0 cdot qr^2
Como as duas cargas estão alinhadas no eixo z, cada campo no ponto P aponta ao longo desse eixo e podemos somar escalarmente as magnitudes.

Passo 3

Denotando a posição das cargas em z=+d/2 e z=−d/2, as distâncias até P são r₁ = z−d/2 e r₂ = z+d/2. O campo total é
E = 14 pi varepsilon0 l(q(z - tfracd2)^2 + q(z + tfracd2)^2r)

Passo 4

Como z >> d, usamos a expansão binomial (1+ε)^-2 approx 1 - 2ε com ε = ∓(d/(2z)). Assim cada termo vira:
1(z pm tfracd2)^2 = 1z^2l(1 mp tfracd2zr)^2 approx 1z^2l(1 pm tfracdzr)
Somando:
1(z - tfracd2)^2 + 1(z + tfracd2)^2 approx 2z^2

Resposta

E = 14 pi varepsilon0 ;2qz^2

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