25E (desafio) - Suponha que duas cargas positivas estejam distantes de um valor d (configuração espacial similar a um dipolo elétrico). Mostre que a expressão para o campo elétrico
num ponto P , sobre o eixo de um dipolo (se fosse um dipolo), considerando z >>d, é dado por
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que, no eixo que passa por duas cargas positivas +q separadas por uma distância d, o campo elétrico num ponto P a uma distância z muito maior que d (z >> d) vale E=1/(4πε₀)·(2q/z²). O conteúdo é eletrostática, usando a Lei de Coulomb para campo de carga pontual e uma aproximação via expansão binomial para z >> d.
Passo 2
Pela Lei de Coulomb, o campo de uma carga pontual +q a uma distância r é dado por:
Como as duas cargas estão alinhadas no eixo z, cada campo no ponto P aponta ao longo desse eixo e podemos somar escalarmente as magnitudes.
Passo 3
Denotando a posição das cargas em z=+d/2 e z=−d/2, as distâncias até P são r₁ = z−d/2 e r₂ = z+d/2. O campo total é
Passo 4
Como z >> d, usamos a expansão binomial
com ε = ∓(d/(2z)). Assim cada termo vira:
Somando: