Encontre a energia da seguinte onda em uma corda:
y(x, t)=A exp (-(k x-omega t)^2)
de duas maneiras: (a) Calculando a energia cinética para t=0 ao longo de todo o x. (b) Somando a potência que passa por x=0 durante todo o tempo. (c) Os resultados dos itens “a” e “b” são iguais? Se não são, o que falta ou sobra em algum deles?

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um pulso da forma
y(x,t)=A,e^-l(kx-omega tr)^2
que se propaga numa corda de massa por unidade de comprimento mu e tensão tau. Vamos encontrar a energia transportada por esse pulso de duas maneiras:
(a) integrando a densidade de energia cinética em t=0 para todo x;
(b) integrando a potência que atravessa x=0 ao longo de todo o tempo.

Passo 2

Cálculo da energia cinética em t=0. A densidade de energia cinética é
uk(x,t)=tfrac12,mul(partialt yr)^2
Primeiro encontramos
partialt y=partialpartial tl(Ae^-eta^2r) cometa=kx-omega t ;Longrightarrow; partialt y=2omega A,eta,e^-eta^2
Em t=0 temos eta=kx. Logo
Ek =integral-infty^inftyuk(x,0),dx =12,muintegral-infty^inftyl(2omega A,eta,e^-eta^2r)^2,dx =2,muomega^2A^2kintegral-infty^inftyeta^2e^-2eta^2,deta
Como
integral-infty^inftyeta^2e^-2eta^2,deta =raizpi2,(2)^3/2 =raizpi2^5/2,
segue
Ek =muomega^2A^2k,raizpi2^3/2 =muomega^2A^2raizpi2^3/2,k

Passo 3

Cálculo por potência em x=0. A potência transmitida é
P(t)=-tau;partialx y(0,t);partialt y(0,t)
Calculamos
partialx y=-2kA,eta,e^-eta^2, partialt y=2omega A,eta,e^-eta^2,
e em x=0 temos eta=-omega t. Assim
P(t) =4,tau komega A^2,eta^2,e^-2eta^2 =4,tau komega^3A^2,t^2,e^-2omega^2t^2
A energia total que atravessa x=0 é
EP=integral-infty^infty P(t),dt =4,tau komega^3A^2integral-infty^infty t^2e^-2omega^2t^2dt =tau kA^2raizpi,4(2omega^2)^3/2,omega^3 =tau kA^2raizpi2^1/2

Passo 4

Comparando Ek e EP usando tau=mu v^2=mu(omega/k)^2:
Ek=muomega^2A^2raizpi2^3/2k, EP=tau kA^2raizpi2^1/2 =2,muomega^2A^2raizpi2^3/2k=2,Ek
Logo não coincide: EP=2Ek. O que falta em (a) é a energia potencial elástica da corda, igual à energia cinética, de modo que a energia total E=Ek+Ep=2Ek bate com EP.

Resposta

Ek=muomega^2A^2raizpi2^3/2,k, EP=tau kA^2raizpi2^1/2, EP=2Ek
Não são iguais: em (a) só se calculou a energia cinética, falta a energia potencial, que é igual e faz a soma coincidir com (b).

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