Encontre a energia da seguinte onda em uma corda:
de duas maneiras: (a) Calculando a energia cinética para
ao longo de todo o
. (b) Somando a potência que passa por
durante todo o tempo. (c) Os resultados dos itens “a” e “b” são iguais? Se não são, o que falta ou sobra em algum deles?
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um pulso da forma
que se propaga numa corda de massa por unidade de comprimento
e tensão
. Vamos encontrar a energia transportada por esse pulso de duas maneiras:
(a) integrando a densidade de energia cinética em para todo
;
(b) integrando a potência que atravessa ao longo de todo o tempo.
(a) integrando a densidade de energia cinética em
(b) integrando a potência que atravessa
Passo 2
Cálculo da energia cinética em
. A densidade de energia cinética é
Primeiro encontramos
Em
temos
. Logo
Como
segue
Passo 3
Cálculo por potência em
. A potência transmitida é
Calculamos
e em
temos
. Assim
A energia total que atravessa
é
Passo 4
Comparando
e
usando
:
Logo não coincide:
. O que falta em (a) é a energia potencial elástica da corda, igual à energia cinética, de modo que a energia total
bate com
.
Resposta
Não são iguais: em (a) só se calculou a energia cinética, falta a energia potencial, que é igual e faz a soma coincidir com (b).