(0.25p) Determine a derivada direcional de
no ponto
e na direção dada pelo vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar calcular o gradiente da função e usar a direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
. Ou seja:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção
. A normalização consiste em dividir o vetor pelo seu módulo para obter um vetor unitário na mesma direção.
O módulo de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente no ponto
e o vetor unitário
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.