(0.25p) Determine a derivada direcional de f(x, y)=ln (x^2+y^2) no ponto (3,1) e na direção dada pelo vetor v=(1,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função f(x, y) = ln(x^2 + y^2) no ponto (3, 1) na direção do vetor v = (1, -2). Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar calcular o gradiente da função e usar a direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função f(x, y) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a x e y . Ou seja:
nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x ln(x^2 + y^2) = 2xx^2 + y^2
E a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y ln(x^2 + y^2) = 2yx^2 + y^2
Então, o gradiente é:
nabla f(x, y) = ( 2xx^2 + y^2, 2yx^2 + y^2 )

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (3, 1):
nabla f(3, 1) = ( 2 times 33^2 + 1^2, 2 times 13^2 + 1^2 ) = ( 69 + 1, 29 + 1 ) = ( 610, 210 ) = ( 0,6, 0,2 )

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor de direção v = (1, -2). A normalização consiste em dividir o vetor pelo seu módulo para obter um vetor unitário na mesma direção.
O módulo de v é:
||v|| = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5
Então, o vetor unitário u é:
u = ( 1raiz5, -2raiz5 )

Passo 6

Agora, a derivada direcional Du f(3, 1) é o produto escalar entre o gradiente no ponto (3,1) e o vetor unitário u:
Du f(3, 1) = nabla f(3, 1) cdot u = (0,6, 0,2) cdot ( 1raiz5, -2raiz5 )
Calculando o produto escalar:
Du f(3, 1) = 0,6 times 1raiz5 + 0,2 times -2raiz5 = 0,6raiz5 - 0,4raiz5 = 0,2raiz5

Resposta

A derivada direcional de f no ponto (3, 1) na direção de v = (1, -2) é 0,2raiz5 approx 0,089.

Exercícios relacionados