Calcule a integral.
integral0^pi / 4 sec theta tan theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral definida de sec theta tan theta no intervalo de 0 a pi4 . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas regras básicas de integração e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que sec theta é igual a 1cos theta e tan theta é igual a sin thetacos theta . Mas, para facilitar nossa vida, vou te mostrar uma técnica que envolve o reconhecimento da derivada de uma função trigonométrica.
Sabemos que a derivada de sec theta em relação a theta é sec theta tan theta . Em termos matemáticos:
ddtheta (sec theta) = sec theta tan theta
Isso significa que a integral de sec theta tan theta em relação a theta é simplesmente sec theta mais uma constante de integração C .

Passo 3

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular o valor da antiderivada sec theta nos limites de 0 a pi4 . Ou seja, vamos substituir esses valores na antiderivada e subtrair:
integral0^pi4 sec theta tan theta , dtheta = sec ( pi4 ) - sec(0)

Passo 4

Agora, vamos calcular sec ( pi4 ) e sec(0) :
Sabemos que:
cos( pi4 ) = raiz22 e cos(0) = 1
Então,
sec ( pi4 ) = 1cos( pi4 ) = 1raiz22 = raiz2
sec(0) = 1cos(0) = 11 = 1

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão que encontramos:
integral0^pi4 sec theta tan theta , dtheta = raiz2 - 1

Resposta

A integral vale raiz2 - 1 .

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