Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar lembrar de algumas regras básicas de integração e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é igual a
e
é igual a
. Mas, para facilitar nossa vida, vou te mostrar uma técnica que envolve o reconhecimento da derivada de uma função trigonométrica.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Em termos matemáticos:
Isso significa que a integral de
em relação a
é simplesmente
mais uma constante de integração
.
Passo 3
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos calcular o valor da antiderivada
nos limites de
a
. Ou seja, vamos substituir esses valores na antiderivada e subtrair:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Sabemos que:
Então,
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão que encontramos:
Resposta
A integral vale
.