Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e usamos alguns testes de convergência pra resolver. Vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e o Teste da Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série pra facilitar o entendimento. A gente tem dois termos no numerador, então podemos separar a série em duas partes:
Assim, analisamos cada uma das séries individualmente.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente. Observamos que ambas são séries geométricas, que têm a forma geral:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 4
Para uma série geométrica convergir, a razão
precisa satisfazer
. Se
, a série diverge.
Passo 5
Vamos aplicar isso na primeira série:
Aqui, a razão
. Sabemos que
, então:
Como
, essa série converge.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda série:
Aqui, a razão
. Sabemos que
, então:
Como
, essa série diverge.
Passo 7
Agora, voltando à série original, que é a soma das duas séries que analisamos:
Sabemos que uma das séries converge e a outra diverge. Quando somamos uma série convergente com uma divergente, o resultado é divergente.
Resposta
A série
diverge.