Em cada caso, determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty e^n+pi^n3^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
sumn=1^infty e^n + pi^n3^n
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e usamos alguns testes de convergência pra resolver. Vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e o Teste da Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da série pra facilitar o entendimento. A gente tem dois termos no numerador, então podemos separar a série em duas partes:
sumn=1^infty e^n3^n + sumn=1^infty pi^n3^n
Assim, analisamos cada uma das séries individualmente.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente. Observamos que ambas são séries geométricas, que têm a forma geral:
sumn=1^infty ar^n
onde a é o primeiro termo e r é a razão.

Passo 4

Para uma série geométrica convergir, a razão r precisa satisfazer |r| < 1 . Se |r| >= 1 , a série diverge.

Passo 5

Vamos aplicar isso na primeira série:
sumn=1^infty e^n3^n = sumn=1^infty ( e3 )^n
Aqui, a razão r = e3 . Sabemos que e approx 2,718 , então:
e3 approx 2,7183 approx 0,906
Como 0,906 < 1 , essa série converge.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda série:
sumn=1^infty pi^n3^n = sumn=1^infty ( pi3 )^n
Aqui, a razão r = pi3 . Sabemos que pi approx 3,1416 , então:
pi3 approx 3,14163 approx 1,0472
Como 1,0472 > 1 , essa série diverge.

Passo 7

Agora, voltando à série original, que é a soma das duas séries que analisamos:
sumn=1^infty e^n + pi^n3^n = sumn=1^infty e^n3^n + sumn=1^infty pi^n3^n
Sabemos que uma das séries converge e a outra diverge. Quando somamos uma série convergente com uma divergente, o resultado é divergente.

Resposta

A série
sumn=1^infty e^n + pi^n3^n
diverge.

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