(0.25p) Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações
a1=1, an+1=(5 n-34 n+1) an, n >= 1
Determine se sumn=1^infty an converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série cujos termos são definidos de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A questão nos pede para descobrir se a soma infinita desses termos, sumn=1^infty an, converge (chega a um valor específico) ou diverge (não tem um valor definido). Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries infinitas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os termos da série são definidos. Temos a1 = 1 e cada termo seguinte é dado por:
an+1 = (5n - 34n + 1) an
Isso significa que cada termo depende do anterior multiplicado por essa fração que envolve n.

Passo 3

Para entender o comportamento dos termos conforme n aumenta, vamos tentar encontrar uma expressão geral para an. Observamos que:
a2 = (5(1) - 34(1) + 1) a1 = (25) times 1 = 25
a3 = (5(2) - 34(2) + 1) a2 = (79) times 25 = 1445
E assim por diante. Percebe-se que os termos estão diminuindo, mas precisamos verificar se eles estão decrescendo rápido o suficiente para a série convergir.

Passo 4

Vamos analisar o limite do termo geral an quando n tende ao infinito. Se limn to infty an neq 0, a série definitivamente diverge.
Observamos que:
limn to infty 5n - 34n + 1 = 54
Portanto, para grandes n, temos aproximadamente:
an+1 approx 54 an
Isso sugere que cada termo é cerca de 54 vezes o termo anterior, ou seja, an cresce geometricamente com razão 54.

Passo 5

Como 54 > 1, percebemos que os termos an estão, na verdade, aumentando para valores maiores à medida que n cresce. Então:
limn to infty an = infty
Já que os termos não tendem a zero, e na verdade tendem ao infinito, a soma infinita dos termos não pode convergir.

Resposta

A série sumn=1^infty an diverge.

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