(0.25p) Os termos de uma série são definidos recursivamente pelas equações
Determine se
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série cujos termos são definidos de forma recursiva, ou seja, cada termo depende do anterior. A questão nos pede para descobrir se a soma infinita desses termos,
, converge (chega a um valor específico) ou diverge (não tem um valor definido). Vamos precisar usar conhecimentos sobre séries infinitas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os termos da série são definidos. Temos
e cada termo seguinte é dado por:
Isso significa que cada termo depende do anterior multiplicado por essa fração que envolve
.
Passo 3
Para entender o comportamento dos termos conforme
aumenta, vamos tentar encontrar uma expressão geral para
. Observamos que:
E assim por diante. Percebe-se que os termos estão diminuindo, mas precisamos verificar se eles estão decrescendo rápido o suficiente para a série convergir.
Passo 4
Vamos analisar o limite do termo geral
quando
tende ao infinito. Se
, a série definitivamente diverge.
Observamos que:
Portanto, para grandes
, temos aproximadamente:
Isso sugere que cada termo é cerca de
vezes o termo anterior, ou seja,
cresce geometricamente com razão
.
Passo 5
Como
, percebemos que os termos
estão, na verdade, aumentando para valores maiores à medida que
cresce. Então:
Já que os termos não tendem a zero, e na verdade tendem ao infinito, a soma infinita dos termos não pode convergir.
Resposta
A série
diverge.