Ache a transformada de Laplace das seguintes funçÔes:
x e^3 x sen 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função x e^3x sin(2x) . Para isso, vamos usar algumas propriedades da transformada de Laplace que envolvem funções exponenciais e senos, além de lidar com o fator x na frente da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace que lida com funções multiplicadas por uma exponencial. Se tivermos uma função e^a x f(x) , a transformada de Laplace dela é F(s - a) , onde F(s) é a transformada de f(x) .
No nosso caso, temos e^3x sin(2x) . Então, vamos identificar a = 3 e f(x) = sin(2x) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de sin(2x) . Sabemos que:
Lsin(bx) = bs^2 + b^2
Aqui, b = 2 , então:
Lsin(2x) = 2s^2 + 4
Aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 2:
Le^3x sin(2x) = 2(s - 3)^2 + 4

Passo 4

Agora, precisamos considerar o fator x que está multiplicando a função. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda com isso:
Lx f(x) = -dds F(s)
Onde F(s) é a transformada de f(x) . No nosso caso, f(x) = e^3x sin(2x) e já encontramos F(s) = 2(s - 3)^2 + 4 .

Passo 5

Vamos aplicar essa propriedade:
Lx e^3x sin(2x) = -dds ( 2(s - 3)^2 + 4 )
Calculando a derivada:
-dds ( 2(s - 3)^2 + 4 ) = -2 cdot -2(s - 3)[(s - 3)^2 + 4]^2 = 4(s - 3)[(s - 3)^2 + 4]^2

Resposta

A transformada de Laplace da função x e^3x sin(2x) é:
Lx e^3x sin(2x) = 4(s - 3)[(s - 3)^2 + 4]^2

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