Ache a transformada de Laplace das seguintes funçÔes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar algumas propriedades da transformada de Laplace que envolvem funções exponenciais e senos, além de lidar com o fator
na frente da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante da transformada de Laplace que lida com funções multiplicadas por uma exponencial. Se tivermos uma função
, a transformada de Laplace dela é
, onde
é a transformada de
.
No nosso caso, temos
. Então, vamos identificar
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Aqui,
, então:
Aplicando a propriedade que mencionamos no Passo 2:
Passo 4
Agora, precisamos considerar o fator
que está multiplicando a função. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que nos ajuda com isso:
Onde
é a transformada de
. No nosso caso,
e já encontramos
.
Passo 5
Vamos aplicar essa propriedade:
Calculando a derivada:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: