[25pts] Considere a EDO de primeira ordem geral M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 e seja mu(x, y) o fator integrante não linear dependendo “somente” de y. Prove que
mu(y)=exp (integral Q(y) d y)
onde Q(y)=(Nx-MyM)(y) e exp (z)=e^z, forall z in R. No caso em que mu(x, y) depende somente de x, o fator integrante é dado por
mu(x)=exp (integral R(x) d x),
onde R(x)=(My-NxN)(x). Use as informações contidas nesse exercício para resolver a seguinte EDO, não necessitando verificar que a nova equação é exata:
(y ln (y)-2 x y) d x+(x+y) d y=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar fator integrante pra resolver a EDO de 1ª ordem
(yln(y)-2xy),dx+(x+y),dy=0
O conteúdo aqui é:
• Equação exata e fator integrante.
• Critério: se Q(y)=Nx-MyM depende só de y, então
mu(y)=expl(!integral Q(y),dyr).
Vamos precisar calcular derivadas parciais, ver se a equação é exata e, se não for, achar mu(y).

Passo 2

Primeiro, identifica
M(x,y)=yln(y)-2xy, N(x,y)=x+y
Teoria da exatidão: a equação M,dx+N,dy=0 é exata se
My=Nx.
Calcula:
My=partialpartial y[,yln(y)-2xy,] =ln(y)+1-2x,
Nx=partialpartial x[,x+y,]=1
Como My=ln(y)+1-2xneq1=Nx, não é exata. Vamos achar um fator integrante.

Passo 3

Teoria do fator integrante que depende só de y:
se Q(y)=Nx-MyM é função apenas de y, então
mu(y)=exp!l(integral Q(y),dyr).
Aqui
Nx-My=1-l(ln(y)+1-2xr)=2x-ln(y),
M=yln(y)-2xy=yl(ln(y)-2xr)=-yl(2x-ln(y)r)
Logo
Q(y)=2x-ln(y)-y(2x-ln(y))=-1y,
que de fato depende só de y. Então
mu(y) =exp!l(integral -tfrac1y,dyr) =expl(-ln|y|r) =1y (y>0)

Passo 4

Multiplica a EDO original por mu(y)=1/y:
l(ln(y)-2xr),dx+l(tfracxy+1r),dy=0
Agora é exata, pois
M^*(x,y)=ln(y)-2x, N^*(x,y)=xy+1,
(M^*)y=1y, (N^*)x=1y
Para resolver, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
psix=M^* e psiy=N^*.
Integra psix=ln(y)-2x em x:
psi(x,y)=integral(ln(y)-2x),dx =xln(y)-x^2+h(y)
Agora impõe psiy=N^*=tfracxy+1:
psiy=xy+h'(y)=xy+1 Longrightarrow h'(y)=1 ;Rightarrow; h(y)=y
Logo a solução implícita é
psi(x,y)=xln(y)-x^2+y=C

Resposta

xln(y)-x^2+y=C

Exercícios relacionados