[25pts] Considere a EDO de primeira ordem geral
e seja
o fator integrante não linear dependendo “somente” de
. Prove que
onde
e
. No caso em que
depende somente de
, o fator integrante é dado por
onde
. Use as informações contidas nesse exercício para resolver a seguinte EDO, não necessitando verificar que a nova equação é exata:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra usar fator integrante pra resolver a EDO de 1ª ordem
O conteúdo aqui é:
• Equação exata e fator integrante.
• Critério: se depende só de
, então
.
Vamos precisar calcular derivadas parciais, ver se a equação é exata e, se não for, achar .
• Equação exata e fator integrante.
• Critério: se
Vamos precisar calcular derivadas parciais, ver se a equação é exata e, se não for, achar
Passo 2
Primeiro, identifica
Teoria da exatidão: a equação
é exata se
.
Calcula:
Calcula:
Como
, não é exata. Vamos achar um fator integrante.
Passo 3
Teoria do fator integrante que depende só de
:
se é função apenas de
, então
.
Aqui
se
Aqui
Logo
que de fato depende só de
. Então
Passo 4
Multiplica a EDO original por
:
Agora é exata, pois
Para resolver, existe uma função potencial
tal que
e
.
Integra em
:
Integra
Agora impõe
:
Logo a solução implícita é