Resolva as equaçÔes diferenciais:
(x^3-3 x y^2+2) d x-(3 x^2 y-y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x^3-3x y^2+2, N(x,y)=-l(3x^2y - y^2r)=y^2-3x^2y
Aqui vamos usar o critério de exatidão e, se for exata, encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=M, partial phipartial y=N

Passo 2

Verificamos se a equação é exata comparando
partial Mpartial y e partial Npartial x.
Calculamos
partial Mpartial y =partialpartial yl(x^3-3x y^2+2r) =-6x y,
partial Npartial x =partialpartial xl(y^2-3x^2yr) =-6x y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos phi(x,y) integrando M em relação a x:
phi(x,y) =integrall(x^3-3x y^2+2r),dx =x^44-32x^2y^2+2x+g(y),
onde g(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar g(y), derivamos phi em relação a y e igualamos a N:
partial phipartial y =-3x^2y+g'(y) stackrel!=y^2-3x^2y Longrightarrow g'(y)=y^2
Integrando,
g(y)=integral y^2,dy=y^33

Passo 5

Substituindo g(y) em phi, obtemos a solução implícita geral:
phi(x,y) =x^44-32x^2y^2+2x+y^33 =C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^44-32x^2y^2+2x+y^33=C

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