Resolva as equaçÔes diferenciais:
(x^2+y^2+2 x) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(x^2+y^2+2xr),dx ;+;2xy,dy=0
O conteúdo aqui é reconhecer uma equação diferencial na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 e verificar se ela é exata. Se for, encontraremos uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=M e partial Fpartial y=N,
e então a solução geral será F(x,y)=C.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x^2+y^2+2x, N(x,y)=2xy
Calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Mpartial y =2y, partial Npartial x =2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) satisfazendo partial F/partial x=M. Integramos M em relação a x:
F(x,y) =integrall(x^2+y^2+2xr),dx =x^33+xy^2+x^2+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos partial F/partial y=N. Derivando a expressão de F em relação a y:
partial Fpartial y =2xy + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=2xy. Assim
2xy + h'(y)=2xy Longrightarrow h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=constante

Passo 5

Portanto, uma primitiva é
F(x,y)=x^33+xy^2+x^2,
e a solução geral da equação diferencial fica
x^33+xy^2+x^2=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

boxedx^33+xy^2+x^2=C

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