Resolva as equaçÔes diferenciais:
2 xy^3 d x+y^2-3 x^2y^4 d y=0

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
2xy^3,dx + y^2 - 3x^2y^4,dy = 0
Trata-se de uma forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, onde
M(x,y)=2xy^3 e N(x,y)=y^2-3x^2y^4. Vamos verificar se ela é exata.

Passo 2

Calculamos
partial Mpartial y = partialpartial yl(2xy^3r) = -6x,y^-4
e
partial Npartial x = partialpartial xl(y^2-3x^2y^4r) = -6x,y^-4
Como partial M/partial y = partial N/partial x (no domínio yneq0), a forma é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial phi(x,y) tal que
phix = M e phiy = N.

Passo 4

Integrando phix=M em relação a x,
phi(x,y) = integral 2xy^3,dx = x^2,y^-3 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Derivando em relação a y,
partial phipartial y = -3x^2,y^-4 + h'(y)
Igualando a N:
-3x^2,y^-4 + h'(y) = y^2-3x^2y^4 = y^-2 -3x^2,y^-4,
logo h'(y)=y^-2 e, integrando,
h(y) = -y^-1

Passo 6

Assim, a função potencial completa é
phi(x,y) = x^2,y^-3 - y^-1
A solução geral da equação diferencial vem de phi(x,y)=C, ou seja,
x^2y^3 - 1y = C
Multiplicando por y^3, obtemos a forma equivalente
x^2 - y^2 = C,y^3

Resposta

x^2y^3 - 1y = C
ou equivalentemente
x^2 - y^2 = C,y^3

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