1. [25pts] Considere a EDO de primeira ordem geral M(x, y) d x+N(x, y) d y=0 e seja mu(x, y) o fator integrante não linear dependendo “somente” de x. Prove que
mu(x)=exp (integral R(x) d x)
onde R(x)=(My-NxN)(x) e exp (z)=e^z, forall z in R. No caso em que mu(x, y) depende somente de y, o fator integrante é dado por
mu(y)=exp (integral Q(y) d y)
onde Q(y)=(-My+NxM)(y). Use as informações contidas nesse exercício para resolver a seguinte EDO, não necessitando verificar que a nova equação é exata:
(y ln (y)-2 x y) d x+(x+y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = yln(y) - 2xy, N(x,y) = x + y
Queremos encontrar um fator integrante que dependa somente de y. Segundo o enunciado, se existir mu(y) tal que
mu(y)=exp!l(integral Q(y),dyr),
onde
Q(y)=-My+NxM,
então mu(y) é um fator integrante válido.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais necessárias:
My = partialpartial yl[yln(y)-2xyr] = ln(y) + 1 - 2x,
Nx = partialpartial xl[x+yr] = 1
Logo,
-My+Nx = -l(ln(y)+1-2xr) + 1 = -ln(y) -1 +2x +1 = 2x - ln(y)

Passo 3

Agora formamos
Q(y) = -My+NxM = 2x - ln(y),yln(y)-2xy, = 2x - ln(y),y(ln(y)-2x), = -1y
Repare que, de fato, Q(y) depende só de y. Então
mu(y) = exp!l(integral Q(y),dyr) = exp!l(integral -tfrac1y,dyr) = expl(-ln(y)r) = 1y

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO por mu(y)=1/y. Isso dá
l(ln(y)-2xr),dx + l(x+yyr),dy =0 Longrightarrow tilde M,dx + tilde N,dy=0,
onde
tilde M(x,y)=ln(y)-2x, tilde N(x,y)=xy+1
Verificamos que agora é exata, pois
partialtilde Mpartial y =1y, partialtilde Npartial x =1y

Passo 5

Como a equação está exata, existe Psi(x,y) tal que
Psix = tilde M = ln(y)-2x, Psiy = tilde N = xy+1
Para achar Psi, integramos Psix em relação a x:
Psi(x,y) = integrall(ln(y)-2xr),dx = xln(y) - x^2 + h(y),
onde h(y) é “constante” de integração em x.
Agora impomos Psiy=tilde N:
Psiy = xy + h'(y) stackrel!=xy+1 Longrightarrow h'(y)=1 Longrightarrow h(y)=y
Portanto
Psi(x,y) = xln(y) - x^2 + y

Resposta

A solução implícita geral da EDO é
xln(y) - x^2 + y = C,
onde C é constante de integração.

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