- [25pts] Considere a EDO de primeira ordem geral
e seja
o fator integrante não linear dependendo “somente” de
. Prove que
onde
e
. No caso em que
depende somente de
, o fator integrante é dado por
onde
. Use as informações contidas nesse exercício para resolver a seguinte EDO, não necessitando verificar que a nova equação é exata:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
com
Queremos encontrar um fator integrante que dependa somente de
. Segundo o enunciado, se existir
tal que
onde
então
é um fator integrante válido.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais necessárias:
Logo,
Passo 3
Agora formamos
Repare que, de fato,
depende só de
. Então
Passo 4
Multiplicamos toda a EDO por
. Isso dá
onde
Verificamos que agora é exata, pois
Passo 5
Como a equação está exata, existe
tal que
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é “constante” de integração em
.
Agora impomos :
Agora impomos
Portanto
Resposta
A solução implícita geral da EDO é
onde
é constante de integração.