Determine o valor de d que faz a área entre as parábolas y=x^2-d^2 e y=d^2-x^2 tomar o valor 567 .

Passo 1

O enunciado pede o valor de d tal que a área da região limitada pelas parábolas
y1(x)=x^2-d^2
e
y2(x)=d^2-x^2
seja igual a 567.
O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas por meio de integrais definidas, e vamos precisar de:
  1. Encontrar os pontos de interseção das parábolas;
  2. Determinar qual delas é a superior e qual é a inferior no intervalo de interseção;
  3. Montar e calcular a integral da diferença ytopo-yfundo;
  4. Igualar o resultado a 567 e resolver para d.

Passo 2

Igualamos y1 e y2 para achar os limites em x:
x^2-d^2=d^2-x^2 Longrightarrow 2x^2=2d^2 Longrightarrow x^2=d^2
Logo, os pontos de interseção são
x=-d e x=+d

Passo 3

No intervalo [-d,d], observa-se que
ytopo(x)=d^2-x^2, yfundo(x)=x^2-d^2
Portanto, a área procurada é
A =integral-d^dl[(d^2-x^2)-(x^2-d^2)r],dx =integral-d^dl(2d^2-2x^2r),dx

Passo 4

Como o integrando é par, podemos usar
A =2integral0^d(2d^2-2x^2),dx =4integral0^d(d^2-x^2),dx
Calculando a integral:
integral0^d(d^2-x^2),dx =gl[d^2x-x^33gr]0^d =d^3-d^33 =23,d^3
Logo,
A =4cdot23d^3 =83d^3

Passo 5

Igualamos a área a 567 e isolamos d:
83d^3=567 Longrightarrow d^3=567cdot38 =17018 Longrightarrow d=raiz[3]17018 =12,raiz[3]1701

Resposta

d=raiz[3]17018 =12,raiz[3]1701

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