Faça um esboço da região limitada pelas curvas dadas. Determine se a área deve ser calculada como uma integral respeito a x ou respeito a y, e calcule a área.
y=x^4-3 x^2, y=x^2.

Passo 1

Estamos querendo a área da região fechada pelas curvas
y = x^4 - 3x^2
e
y = x^2
O conteúdo aqui é “área entre duas curvas” usando integrais definidas. Precisamos encontrar onde elas se cruzam, decidir se vamos integrar em x ou em y, montar a diferença entre a curva de cima e a curva de baixo e então calcular a integral.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos:
x^4 - 3x^2 = x^2
x^4 - 4x^2 = 0
x^2,(x^2 - 4) = 0
Logo x=0 ou x=pm 2. Substituindo em y=x^2, os pontos são (0,0) e (pm2,4).

Passo 3

Como ambas as curvas são dadas na forma y = f(x), usamos fatias verticais e integramos em x. No intervalo xin[-2,2] temos
ycima = x^2, ybaixo = x^4 - 3x^2,
pois para |x|<=2 vale
x^2 - (x^4 - 3x^2) = 4x^2 - x^4 >= 0
Portanto
área = integral-2^2 l(x^2 - (x^4 - 3x^2)r),dx = integral-2^2 (4x^2 - x^4),dx á

Passo 4

A função 4x^2 - x^4 é par, então
integral-2^2 (4x^2 - x^4),dx = 2 integral0^2 (4x^2 - x^4),dx
Calculamos:
integral0^2 (4x^2 - x^4),dx = l[tfrac4x^33 - tfracx^55r]0^2 = l(tfrac4cdot83 - tfrac325r) = tfrac323 - tfrac325 = tfrac32,(5-3)15 = tfrac6415
Multiplicando por 2:
área = 2 cdot tfrac6415 = tfrac12815 á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é tfrac12815.

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