[25pts] Resolva pelo método de Euler a seguinte EDO linear de segunda ordem com termos constantes:
y^prime prime-6 y^prime+25 y=0
Nesse exercício calcule o Wronskiano da soluções típicas justificando o fato das soluções serem L.I. e exiba a solução geral dessa equação. Não será válido na resolução deste exercício somente a colocação da resposta final sem o desenvolvimento do método.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Euler (constantes), a EDO homogênea de segunda ordem
y'' - 6y' + 25y = 0
Vamos usar o conceito de equação característica para encontrar as raízes, depois determinar as soluções típicas, calcular o Wronskiano para justificar que elas são linearmente independentes e, por fim, escrever a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^r x. Substituindo na EDO obtemos a equação característica
r^2 - 6r + 25 = 0
O discriminante é
De<a = (-6)^2 - 4cdot1cdot25 = 36 - 100 = -64,
logo as raízes são
r = 6 pm raiz-642 = 3 pm 4,i

Passo 3

Para raízes complexas r= alpha pm beta,i as soluções reais típicas são
y1(x) = e^alpha xcos(beta x), y2(x) = e^alpha xsin(beta x)
Aqui alpha=3 e beta=4, portanto
y1(x) = e^3xcos(4x), y2(x) = e^3xsin(4x)

Passo 4

Calculamos o Wronskiano para verificar independência linear:
W(y1,y2)(x) = y1 & y2 [6pt] y1' & y2'
Derivando,
y1' = e^3xl(3cos4x - 4sin4xr), y2' = e^3xl(3sin4x + 4cos4xr)
Então
W = e^3xe^3xl[cos4x,(3sin4x+4cos4x) - (3cos4x-4sin4x)sin4xr] = e^6x,4l(cos^2 4x + sin^2 4xr) = 4,e^6x
Como W(x)=4e^6xneq0 para todo x, y1 e y2 são linearmente independentes.]

Passo 5

Pela teoria das EDOs lineares homogêneas, a solução geral é
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x) = e^3xl(C1cos4x + C2sin4xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

Wronskiano:
W(y1,y2)(x) = 4,e^6xneq0
Solução geral:
y(x) = e^3xl(C1cos4x + C2sin4xr)

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