[25pts] Resolva pelo método de Euler a seguinte EDO linear de segunda ordem com termos constantes:
Nesse exercício calcule o Wronskiano da soluções típicas justificando o fato das soluções serem L.I. e exiba a solução geral dessa equação. Não será válido na resolução deste exercício somente a colocação da resposta final sem o desenvolvimento do método.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método de Euler (constantes), a EDO homogênea de segunda ordem
Vamos usar o conceito de equação característica para encontrar as raízes, depois determinar as soluções típicas, calcular o Wronskiano para justificar que elas são linearmente independentes e, por fim, escrever a solução geral.
Passo 2
Assumimos uma solução da forma . Substituindo na EDO obtemos a equação característica
O discriminante é
logo as raízes são
Passo 3
Para raízes complexas as soluções reais típicas são
Aqui e , portanto
Passo 4
Calculamos o Wronskiano para verificar independência linear: