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Determine se a série sumn=1^infty (-10)^nn! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge. ( 2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty (-10)^nn! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e os conceitos de convergência absoluta e condicional. Vamos dar uma olhada em cada passo pra chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série sum an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge. Isso é importante porque, se a série absoluta converge, então a série original também converge, indiferente do sinal dos termos.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série: sumn=1^infty (-10)^nn!. Primeiro, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-10)^nn! | = sumn=1^infty 10^nn!

Passo 4

Para verificar se essa série dos valores absolutos converge, podemos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatorial e potências.
O Teste da Razão diz que se limn to infty | an+1an | = L:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos aplicar o Teste da Razão na série sumn=1^infty 10^nn!:
limn to infty | 10^n+1(n+1)!10^nn! | = limn to infty 10^n+1 cdot n!10^n cdot (n+1)! = limn to infty 10n+1 = 0

Passo 6

Como o limite que calculamos é 0, que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos sumn=1^infty 10^nn! converge. Isso significa que a série original sumn=1^infty (-10)^nn! também converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-10)^nn! é absolutamente convergente.

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