Resolva 5 das 6 questões
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou diverge. ( 2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente determinar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou se diverge. Para isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e os conceitos de convergência absoluta e condicional. Vamos dar uma olhada em cada passo pra chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série ser absolutamente convergente. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Isso é importante porque, se a série absoluta converge, então a série original também converge, indiferente do sinal dos termos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série: . Primeiro, vamos considerar a série dos valores absolutos:
Passo 4
Para verificar se essa série dos valores absolutos converge, podemos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos envolvendo fatorial e potências.
O Teste da Razão diz que se limn to infty | an+1an | = L:
Se L < 1, a série converge absolutamente.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos aplicar o Teste da Razão na série sumn=1^infty 10^nn!:
limn to infty | 10^n+1(n+1)!10^nn! | = limn to infty 10^n+1 cdot n!10^n cdot (n+1)! = limn to infty 10n+1 = 0
Passo 6
Como o limite que calculamos é 0, que é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série dos valores absolutos sumn=1^infty 10^nn! converge. Isso significa que a série original sumn=1^infty (-10)^nn! também converge absolutamente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-10)^nn! é absolutamente convergente.