- [25pts] Resolva pelo método de Euler a seguinte EDO linear de segunda ordem com termos constantes:
Nesse exercício calcule o Wronskiano da soluções típicas justificando o fato das soluções serem L.I. e exiba a solução geral dessa equação. Não será válido na resolução deste exercício somente a colocação da resposta final sem o desenvolvimento do método.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método de Euler, que consiste em assumir uma solução do tipo
e obter a equação característica. Depois precisamos calcular o Wronskiano das duas soluções típicas e justificar que são linearmente independentes, e finalmente escrever a solução geral.
Passo 2
Assumindo
, temos
Substituindo em
dá
Passo 3
Resolvendo a equação característica
usamos a fórmula de Bhaskara:
Como as raízes são complexas conjugadas
, as soluções reais fundamentais são
Passo 4
Para verificar que
e
são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
Como
temos
Fatorando
e simplificando trigonométricos surge
Como
nunca é zero,
e
são linearmente independentes.
Passo 5
Pela teoria das equações lineares de segunda ordem, a solução geral é combinação linear de
e
.
Resposta
A solução geral é
com constantes arbitrárias
e
.