1. [25pts] Resolva pelo método de Euler a seguinte EDO linear de segunda ordem com termos constantes:
y^prime prime-6 y^prime+34 y=0
Nesse exercício calcule o Wronskiano da soluções típicas justificando o fato das soluções serem L.I. e exiba a solução geral dessa equação. Não será válido na resolução deste exercício somente a colocação da resposta final sem o desenvolvimento do método.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 6y' + 34y = 0
usando o método de Euler, que consiste em assumir uma solução do tipo y=e^rx e obter a equação característica. Depois precisamos calcular o Wronskiano das duas soluções típicas e justificar que são linearmente independentes, e finalmente escrever a solução geral.

Passo 2

Assumindo y=e^rx, temos
y' = r e^rx, y'' = r^2e^rx
Substituindo em y'' - 6y' + 34y=0
r^2e^rx -6,r e^rx +34e^rx = 0 Longrightarrow r^2 - 6r +34 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^2 - 6r +34 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = 6 pm raiz(-6)^2 -4cdot1cdot342 = 6 pm raiz36 -1362 = 6 pm raiz-1002 = 3 pm 5i
Como as raízes são complexas conjugadas 3pm5i, as soluções reais fundamentais são
y1(x) = e^3xcos(5x), y2(x) = e^3xsin(5x)

Passo 4

Para verificar que y1 e y2 são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano
W(x)= det y1 & y2 y1'& y2'
Como
y1 = e^3xcos(5x), y1' = e^3xl(3cos(5x)-5sin(5x)r),
y2 = e^3xsin(5x), y2' = e^3xl(3sin(5x)+5cos(5x)r),
temos
W(x) = e^3xcos(5x)cdot e^3xl(3sin(5x)+5cos(5x)r) - e^3xsin(5x)cdot e^3xl(3cos(5x)-5sin(5x)r)
Fatorando e^6x e simplificando trigonométricos surge
W(x) = e^6xl[3cos5xsin5x+5cos^25x -3sin5xcos5x+5sin^25xr] =5,e^6xl(cos^25x+sin^25xr) =5,e^6xneq0
Como W(x) nunca é zero, y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 5

Pela teoria das equações lineares de segunda ordem, a solução geral é combinação linear de y1 e y2.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1,e^3xcos(5x) ;+; C2,e^3xsin(5x),
com constantes arbitrárias C1 e C2.

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