Resolva as equaçÔes diferenciais:
y^prime=yx-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = yx - 1
Esse é um caso de equação diferencial de primeira ordem e do tipo linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y' - 1x,y = -1
Aqui identificamos
p(x) = -1x e q(x) = -1

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral -1x,dxr) = expl(-ln|x|r) = 1x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão por mu(x)=1/x:
1x,y' - 1x^2,y = -1x
O lado esquerdo é exatamente a derivada de tfracyx, ou seja,
ddxl(yxr) = -1x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddxl(yxr),dx = integral -1x,dx Longrightarrow yx = -lnlvert xrvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Basta isolar y:
y = xl(-lnlvert xrvert + Cr) = -,xlnlvert xrvert + C,x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
boxedy(x) = -,xlnlvert xrvert + C,x, CinR

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