2-26 (2-25) Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
\frac{1}{r} \frac{d}{d r}\left(r k \frac{d T}{d r}\right)+\dot{e}_{g e r}=0
Há geração de calor no meio?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação de condução de calor (forma radial, mais simples):
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r k \frac{dT}{dr}\right)+\dot{e}_{ger}=0.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A equação está escrita em coordenadas cilíndricas com simetria radial (variável radial r apenas).
  • T é a temperatura, função de r.
  • k é a condutividade térmica do meio (pode ser função de r ou constante).
  • \dot{e}_{ger} aparece somando-se ao operador diferencial.
  • A pergunta é: “Há geração de calor no meio?” (isto é, o termo \dot{e}_{ger} representa geração interna de calor ou não?)

Passo 2

Conservação de energia (estado estacionário) e origem do termo \dot{e}_{ger}.
A maneira mais direta de entender essa equação é partir da conservação de energia em regime estacionário (sem armazenamento de energia) numa zona com simetria radial. A equação geral de balanço energético no volume, em regime estacionário, é:
\text{div}\,\mathbf{q} + \dot{e}_{ger}=0,
onde \mathbf{q} é o vetor fluxo de calor (unidade: \mathrm{W/m^2}) e \dot{e}_{ger} é a taxa volumétrica de geração de calor (unidade: \mathrm{W/m^3}). Explicando cada termo:
  • \text{div}\,\mathbf{q} representa o fluxo líquido de calor saindo do volume por condução;
  • \dot{e}_{ger} representa calor gerado por unidade de volume (por exemplo, fontes internas como aquecimento por resistência, reacções químicas, aquecimento por corrente elétrica, etc.). Se \dot{e}_{ger}>0, há geração de calor; se \dot{e}_{ger}=0, não há geração interna.

Passo 3

Ligando Fourier e a forma radial da equação.
Pela lei de Fourier (fluxo por condução), na direção radial:
q_r = -k\frac{dT}{dr}.
Para simetria radial (dependência apenas de r), a divergência do fluxo no componente radial é
\text{div}\,\mathbf{q} = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r q_r\right).
Substituindo q_r em \text{div}\,\mathbf{q} + \dot{e}_{ger}=0 obtemos exatamente a equação dada:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r k \frac{dT}{dr}\right)+\dot{e}_{ger}=0.
Isso mostra que o termo \dot{e}_{ger} na equação é, por construção, a taxa volumétrica de geração (ou absorção, se negativo) de calor.

Passo 4

Interpretação prática e sinal: o que significa \dot{e}_{ger}.
  • Unidades: \dot{e}_{ger} tem unidades de \mathrm{W/m^3}. É uma fonte interna de energia por volume.
  • Se \dot{e}_{ger}\neq0 então existe uma fonte (ou sumidouro, se \dot{e}_{ger}<0) de calor no meio.
  • Se \dot{e}_{ger}=0 a equação reduz-se à equação de condução sem geração interna:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r k \frac{dT}{dr}\right)=0,
isto é, somente condução entre superfícies, sem geração interna.

Passo 5

Exemplo concreto (caso simples) — mostrar diferença de perfis térmicos com e sem geração.
Considere k constante e \dot{e}_{ger}=q''' constante (notação comum: q''' para geração volumétrica). A equação fica
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r \frac{dT}{dr}\right)+\frac{q'''}{k}=0.
Multiplicando por r e integrando:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{q'''}{k}r,
integração 1:
r\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{2k}r^{2} + C_{1},
dividindo e integrando novamente:
\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{2k}r + \frac{C_{1}}{r},
T(r) = -\frac{q'''}{4k}r^{2} + C_{1}\ln r + C_{2}.
Note: o termo quadrático em r^{2} surge exclusivamente por causa de q'''\neq0 (geração). Se q'''=0 volta-se ao perfil sem termo r^{2}, ficando apenas a solução homogênea T(r)=C_{1}\ln r + C_{2}. Portanto a presença de geração altera a forma do perfil de temperatura de modo evidente.

Resposta

Sim — o termo \dot{e}_{ger} representa geração volumétrica de calor ( \mathrm{W/m^3}); se \dot{e}_{ger}\neq0 então há geração interna no meio, e se \dot{e}_{ger}=0 não há geração.

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