2-26 (2-25) Considere um meio cuja equação de condução de calor na forma mais simples é
Há geração de calor no meio?
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação de condução de calor (forma radial, mais simples):
Informações fornecidas e o que é pedido:
- A equação está escrita em coordenadas cilíndricas com simetria radial (variável radial
apenas). -
é a temperatura, função de . -
é a condutividade térmica do meio (pode ser função de ou constante). -
aparece somando-se ao operador diferencial. - A pergunta é: “Há geração de calor no meio?” (isto é, o termo
representa geração interna de calor ou não?)
Passo 2
Conservação de energia (estado estacionário) e origem do termo
.
A maneira mais direta de entender essa equação é partir da conservação de energia em regime estacionário (sem armazenamento de energia) numa zona com simetria radial. A equação geral de balanço energético no volume, em regime estacionário, é:
onde
é o vetor fluxo de calor (unidade:
) e
é a taxa volumétrica de geração de calor (unidade:
). Explicando cada termo:
-
representa o fluxo líquido de calor saindo do volume por condução; -
representa calor gerado por unidade de volume (por exemplo, fontes internas como aquecimento por resistência, reacções químicas, aquecimento por corrente elétrica, etc.). Se , há geração de calor; se , não há geração interna.
Passo 3
Ligando Fourier e a forma radial da equação.
Pela lei de Fourier (fluxo por condução), na direção radial:
Para simetria radial (dependência apenas de
), a divergência do fluxo no componente radial é
Substituindo
em
obtemos exatamente a equação dada:
Isso mostra que o termo
na equação é, por construção, a taxa volumétrica de geração (ou absorção, se negativo) de calor.
Passo 4
Interpretação prática e sinal: o que significa
.
- Unidades:
tem unidades de . É uma fonte interna de energia por volume. - Se
então existe uma fonte (ou sumidouro, se ) de calor no meio. - Se
a equação reduz-se à equação de condução sem geração interna:
isto é, somente condução entre superfícies, sem geração interna.
Passo 5
Exemplo concreto (caso simples) — mostrar diferença de perfis térmicos com e sem geração.
Considere
constante e
constante (notação comum:
para geração volumétrica). A equação fica
Multiplicando por
e integrando:
integração 1:
dividindo e integrando novamente:
Note: o termo quadrático em
surge exclusivamente por causa de
(geração). Se
volta-se ao perfil sem termo
, ficando apenas a solução homogênea
. Portanto a presença de geração altera a forma do perfil de temperatura de modo evidente.
Resposta
Sim — o termo
representa geração volumétrica de calor (
); se
então há geração interna no meio, e se
não há geração.