[26] Calcule o trabalho do campo
ao longo da fronteira do triângulo dado pelos pontos
e
orientada no sentido horário.
Passo 1
Temos o campo de forças
e queremos calcular o trabalho ao longo da fronteira do triângulo com vértices
,
e
orientada no sentido horário. Vamos usar o teorema de Green.
Passo 2
O teorema de Green diz que, para uma curva fechada
no sentido anti-horário,
Como nossa orientação é horária, invertemos o sinal:
Aqui
e
. Calculando as derivadas parciais, obtemos
e
. Logo, o integrando fica
.
Passo 3
A região
é o triângulo limitado por
,
e
. Então podemos escrever
Passo 4
Para avaliar
, separamos:
e
. Assim a integral dá
. Por fim, incluindo o sinal menos, obtemos