[26] Calcule o trabalho do campo (0,0),(1,0) ao longo da fronteira do triângulo dado pelos pontos (1,1) e orientada no sentido horário.

Passo 1

Temos o campo de forças F = (y e^x^2 + cos(x^2)),i + (x^2 - tan(y^2)),j e queremos calcular o trabalho ao longo da fronteira do triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (1,1) orientada no sentido horário. Vamos usar o teorema de Green.

Passo 2

O teorema de Green diz que, para uma curva fechada C no sentido anti-horário, ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA Como nossa orientação é horária, invertemos o sinal: W = ointC Fcdot dr = - integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) ,dA Aqui P(x,y) = y e^x^2 + cos(x^2) e Q(x,y) = x^2 - tan(y^2). Calculando as derivadas parciais, obtemos partial Qpartial x = 2x e partial Ppartial y = e^x^2. Logo, o integrando fica 2x - e^x^2.

Passo 3

A região D é o triângulo limitado por y=0, x=1 e y=x. Então podemos escrever
integral duplaD (2x - e^x^2),dA = integralx=0^1 integraly=0^x (2x - e^x^2),dy,dx = integral0^1 (2x - e^x^2),x,dx

Passo 4

Para avaliar integral0^1 (2x^2 - x e^x^2),dx, separamos: integral0^1 2x^2,dx = tfrac23 e integral0^1 x e^x^2,dx = tfrac12 (e - 1). Assim a integral dá tfrac23 - tfrace-12 = tfrac7 -3e6. Por fim, incluindo o sinal menos, obtemos
W = -7 - 3e6 = 3e - 76

Resposta

3e - 76

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