Questão 7. Sendo f uma função inteira que satisfaz Re(f(z))>0 para todo z in C, mostre que f(z) é constante.

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função inteira f tal que Re(f(z))>0 para todo z∈ℂ. O conteúdo envolvido é teoria de funções inteiras, Liouville e propriedades de funções harmônicas ou aplicação do logaritmo complexo em domínios simplesmente conexos.

Passo 2

Como Re(f(z))>0, segue que f(z)≠0 para todo z e a imagem de f fica contida no semiplano direito H={w∈ℂ:Re(w)>0}. Esse semiplano é simplesmente conexo, então podemos definir de forma global e holomorfa o ramo principal do logaritmo em H.

Passo 3

Definimos a função inteira g(z)=Log (z), onde Log é o ramo principal do logaritmo em H. Note que nessa construção temos
block:
g(z)=ln|f(z)|+iarg(f(z)),arg(f(z))in(-tfracpi2,tfracpi2)

Passo 4

Da expressão acima vemos que Im (z)=arg(f(z)) é limitada, pois está sempre em (−π/2,π/2).

Passo 5

Como g é holomorfa em ℂ, suas partes real e imaginária são harmônicas. Uma função harmônica limitada num domínio todo ℂ é constante (pela versão harmônica do teorema de Liouville). Logo Im é constante.

Passo 6

Pelos teoremas de Cauchy‐Riemann, se a parte imaginária de uma função holomorfa é constante então a função inteira também é constante. Portanto g(z)=C para algum C∈ℂ, e assim
block:
f(z)=e^g(z)=e^C,constante

Resposta

A função f é constante.

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