Questão 7. Sendo
uma função inteira que satisfaz
para todo
, mostre que
é constante.
Passo 1
O enunciado diz que existe uma função inteira f tal que Re(f(z))>0 para todo z∈ℂ. O conteúdo envolvido é teoria de funções inteiras, Liouville e propriedades de funções harmônicas ou aplicação do logaritmo complexo em domínios simplesmente conexos.
Passo 2
Como Re(f(z))>0, segue que f(z)≠0 para todo z e a imagem de f fica contida no semiplano direito H={w∈ℂ:Re(w)>0}. Esse semiplano é simplesmente conexo, então podemos definir de forma global e holomorfa o ramo principal do logaritmo em H.
Passo 3
Definimos a função inteira g(z)=Log(z), onde Log é o ramo principal do logaritmo em H. Note que nessa construção temos
block:
block:
Passo 4
Da expressão acima vemos que Im(z)=arg(f(z)) é limitada, pois está sempre em (−π/2,π/2).
Passo 5
Como g é holomorfa em ℂ, suas partes real e imaginária são harmônicas. Uma função harmônica limitada num domínio todo ℂ é constante (pela versão harmônica do teorema de Liouville). Logo Im é constante.
Passo 6
Pelos teoremas de Cauchy‐Riemann, se a parte imaginária de uma função holomorfa é constante então a função inteira também é constante. Portanto g(z)=C para algum C∈ℂ, e assim
block:
block:
Resposta
A função f é constante.