Questão 6. Sendo
uma função inteira que satisfaz
para todo
, mostre que
é constante.
Passo 1
A questão diz que temos uma função inteira
tal que
para todo
. O tema é teoria de funções holomorfas inteiras, usando o Teorema de Liouville e mapeamentos conformes para mostrar que qualquer função inteira que envia
num domínio limitado deve ser constante.
Passo 2
Uma ideia clássica é usar uma função de Möbius que transforme o semiplano superior no disco unitário. Definimos
Passo 3
Definimos então a função
Essa composição é inteira (pois
Passo 4
Pelo Teorema de Liouville, toda função inteira e limitada é constante. Logo
Passo 5
Como
, podemos inverter
(que é bijetora entre o semiplano superior e o disco) e obter
Passo 6
Portanto, concluímos que
é constante em todo
.