Questão 6. Sendo f uma função inteira que satisfaz Im(f(z))>0 para todo z in C, mostre que f(z) é constante.

Passo 1

A questão diz que temos uma função inteira f:CtoC tal que Im(f(z))>0 para todo z. O tema é teoria de funções holomorfas inteiras, usando o Teorema de Liouville e mapeamentos conformes para mostrar que qualquer função inteira que envia C num domínio limitado deve ser constante.

Passo 2

Uma ideia clássica é usar uma função de Möbius que transforme o semiplano superior no disco unitário. Definimos
varphi(w)=w - iw + i,que leva qualquer w com Im(w)>0 para dentro do disco |varphi(w)|<1. Como f(z) nunca atinge -i, a composição abaixo faz sentido e é holomorfa em todo C.

Passo 3

Definimos então a função
g(z)=varphil(f(z)r)
Essa composição é inteira (pois varphi é holomorfa onde precisa e f é inteira) e satisfaz
|g(z)|<1para todo z,ou seja, é limitada.

Passo 4

Pelo Teorema de Liouville, toda função inteira e limitada é constante. Logo
g(z)=c, cinC fixo

Passo 5

Como g(z)=varphi(f(z))=c, podemos inverter varphi (que é bijetora entre o semiplano superior e o disco) e obter
f(z)=varphi^-1(c),isto é, uma constante.

Passo 6

Portanto, concluímos que f(z) é constante em todo C.

Resposta

f(z) é constante.

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