26^circ ) Mostre que para x, y in R se |x-y|<epsilon, então |x|<|y|+epsilon

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dados x,yinR e um epsilon>0 tais que lvert x-yrvert<epsilon, segue-se
lvert xrvert<lvert yrvert+epsilon
O conteúdo que vamos usar é a propriedade do valor absoluto conhecida como desigualdade triangular.

Passo 2

Note que
x = (x - y) + y,
logo, aplicando a desigualdade triangular, temos
lvert xrvert = llvert (x - y) + y rrvert <= lvert x - yrvert + lvert yrvert

Passo 3

Pela hipótese lvert x - yrvert<epsilon, substituímos na desigualdade acima para obter
lvert xrvert < epsilon + lvert yrvert = lvert yrvert + epsilon,
que é exatamente o que se queria demonstrar.

Resposta

lvert xrvert<lvert yrvert+epsilon.

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