1. A função rendimento marginal para uma certa mercadoria é R^prime(x)=12-3 x. Se x unidades forem demandadas quando p unidades monetárias for o preço unitário, ache (a) a função rendimento total e (b) uma equação envolvendo p e x (a equação de demanda).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de rendimento marginal para um produto, que é R^prime(x) = 12 - 3x . Nosso objetivo é:
a) Encontrar a função de rendimento total R(x) .
b) Encontrar uma equação que relacione o preço p com a quantidade demandada x (essa é a equação de demanda).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é rendimento marginal e como integrá-lo para achar o rendimento total. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é rendimento marginal. É a variação do rendimento total quando vendemos uma unidade a mais do produto. Matemática, isso é dado pela derivada da função de rendimento total:
R^prime(x) = dRdx
No nosso caso, R^prime(x) = 12 - 3x .

Passo 3

Para encontrar a função de rendimento total R(x) , precisamos integrar a função de rendimento marginal R^prime(x) . A integral de R^prime(x) em relação a x nos dá R(x) :
R(x) = integral R^prime(x) , dx = integral (12 - 3x) , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral:
R(x) = integral 12 , dx - integral 3x , dx = 12x - 32x^2 + C
Aqui, C é a constante de integração. Geralmente, assumimos que o rendimento total é zero quando a quantidade é zero, ou seja, R(0) = 0 . Vamos usar isso para encontrar C .

Passo 5

Aplicando x = 0 na função:
R(0) = 12(0) - 32(0)^2 + C = 0 Rightarrow C = 0
Então, a função de rendimento total é:
R(x) = 12x - 32x^2

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que rendimento total também pode ser expresso como o preço unitário p vezes a quantidade x :
R(x) = p cdot x
Já temos R(x) = 12x - 32x^2 . Portanto:
p cdot x = 12x - 32x^2

Passo 7

Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação entre p e x :
p cdot x = 12x - 32x^2
Dividindo ambos os lados por x (desde que x neq 0 ):
p = 12 - 32x

Resposta

a) A função de rendimento total é R(x) = 12x - 32x^2 .
b) A equação de demanda que relaciona o preço p com a quantidade demandada x é p = 12 - 32x .

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