- A função rendimento marginal para uma certa mercadoria é
. Se
unidades forem demandadas quando
unidades monetárias for o preço unitário, ache (a) a função rendimento total e (b) uma equação envolvendo
e
(a equação de demanda).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de rendimento marginal para um produto, que é
. Nosso objetivo é:
a) Encontrar a função de rendimento total
.
b) Encontrar uma equação que relacione o preço
com a quantidade demandada
(essa é a equação de demanda).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é rendimento marginal e como integrá-lo para achar o rendimento total. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é rendimento marginal. É a variação do rendimento total quando vendemos uma unidade a mais do produto. Matemática, isso é dado pela derivada da função de rendimento total:
No nosso caso,
.
Passo 3
Para encontrar a função de rendimento total
, precisamos integrar a função de rendimento marginal
. A integral de
em relação a
nos dá
:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Aqui,
é a constante de integração. Geralmente, assumimos que o rendimento total é zero quando a quantidade é zero, ou seja,
. Vamos usar isso para encontrar
.
Passo 5
Aplicando
na função:
Então, a função de rendimento total é:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que rendimento total também pode ser expresso como o preço unitário
vezes a quantidade
:
Já temos
. Portanto:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação entre
e
:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Resposta
a) A função de rendimento total é
.
b) A equação de demanda que relaciona o preço
com a quantidade demandada
é
.