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Considere a função f(x, y)=raizx^2+y^2+1.
(a) Determine o domínio e o conjunto imagem de f.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=raizx^2+y^2+1
determinar (a) o domínio e (b) o conjunto imagem. O conteúdo usado será o domínio da raiz quadrada (exigindo argumento não-negativo) e análise do valor mínimo de raizx^2+y^2.

Passo 2

Para achar o domínio, lembramos que a função raiz quadrada exige que o radicando seja não-negativo. Aqui o radicando é x^2+y^2. Como
x^2+y^2>=0
para todo (x,y)inR^2, não há restrição adicional. Portanto o domínio é todo o plano.

Passo 3

Para o conjunto imagem, note que
raizx^2+y^2>=0
sempre, e assim
f(x,y)=raizx^2+y^2+1>=0+1=1
Além disso, tomando (x,y)=(0,0) obtemos f(0,0)=1, e, fazendo raizx^2+y^2toinfty, ftoinfty. Logo o valor de f percorre todos os números de 1 em diante.

Resposta

Domínio: R^2
Imagem: [1,infty)

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