Vamos encontrar o intervalo de convergência de e sua soma.
Em seguida, multiplique a igualdade obtida anteriormente por e derive novamente.
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência e a soma da série de potências
e, em seguida, orienta a multiplicar essa soma por e derivar novamente. Para resolver, usaremos o teste da razão para o raio de convergência e a técnica de obter séries de potências pela diferenciação termo a termo da série geométrica
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a :
Para convergir, é necessário |x|<1. Portanto o intervalo de convergência é
|x|<1
Passo 3
Começamos da série geométrica conhecida
sumn=0^inftyx^n=11-x,
válida para |x|<1.
Derivando termo a termo e multiplicando por x, obtemos