Vamos encontrar o intervalo de convergência de sumn=1^infty n^3 x^n e sua soma.
Em seguida, multiplique a igualdade obtida anteriormente por x e derive novamente.

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência e a soma da série de potências
sumn=1^inftyn^3x^n
e, em seguida, orienta a multiplicar essa soma por x e derivar novamente. Para resolver, usaremos o teste da razão para o raio de convergência e a técnica de obter séries de potências pela diferenciação termo a termo da série geométrica

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a an=n^3x^n:
limntoinfty|(n+1)^3x^,n+1n^3x^n| =;|x|;limntoinftyl(1+tfrac1nr)^3 =;|x|
Para convergir, é necessário |x|<1. Portanto o intervalo de convergência é
|x|<1

Passo 3

Começamos da série geométrica conhecida
sumn=0^inftyx^n=11-x,
válida para |x|<1.
  1. Derivando termo a termo e multiplicando por x, obtemos
sumn=1^inftyn,x^n =;xddxl(11-xr) =x(1-x)^2
  1. Repetindo a derivação e multiplicação:
sumn=1^inftyn^2x^n =;xddxl(x(1-x)^2r) =x(1+x)(1-x)^3
  1. Uma terceira vez:
sumn=1^inftyn^3x^n =;xddxl(x(1+x)(1-x)^3r) =x,(1+4x+x^2)(1-x)^4

Passo 4

Concluímos que, para |x|<1,
sumn=1^inftyn^3x^n =x(1+4x+x^2)(1-x)^4

Passo 5

Agora multiplicamos ambos os lados por x e derivamos para obter uma nova série:
sumn=1^inftyn^3x^n+1 =xcdotx(1+4x+x^2)(1-x)^4 =x^2(1+4x+x^2)(1-x)^4,
ddxl(sumn=1^inftyn^3x^n+1r) =sumn=1^inftyn^3(n+1)x^n =ddxl(x^2(1+4x+x^2)(1-x)^4r)
Fazendo essa derivada e simplificando, chega-se a
sumn=1^inftyn^3(n+1)x^n =2x(1+7x+4x^2)(1-x)^5

Resposta

O intervalo de convergência é |x|<1.
A soma da série é
sumn=1^inftyn^3x^n =x(1+4x+x^2)(1-x)^4
Multiplicando por x e derivando, obtemos
sumn=1^inftyn^3(n+1)x^n =2x(1+7x+4x^2)(1-x)^5

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