Tomando o valor de x^x em 0 igual a 1 e integrando uma série termo a termo, vamos demonstrar que
integral0^1 x^x d x=sumn=1^infty (-1)^n-1n^n
Escrevendo x^x=e^ln (x^x)=e^x ln (x), escreva uma série de Maclaurin para x^x.

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva a série de Maclaurin de x^x sabendo que
x^x = e^lnl(x^xr) = e^xln(x),
ou seja, vamos usar a expansão em série de Taylor (Maclaurin) da função exponencial.

Passo 2

Lembrando que, para qualquer u, a série de Maclaurin de e^u é
e^u = sumn=0^infty u^nn!

Passo 3

Basta tomar u = xln(x) e substituir na série acima:
x^x ;=; e^xln(x) ;=;sumn=0^infty l(xln(x)r)^nn!

Resposta

x^x = sumn=0^infty l(xln(x)r)^nn!

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