Encontre todas as soluções da equação
1+x2!+x^24!+x^36!+cdots=0
Considere primeiro o caso x >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
1 + x2! + x^24! + x^36! + cdots = 0
no caso x>=0.
O conteúdo aqui é séries de potências e identificação com funções hiperbólicas. Vamos usar a expansão em série de cosh.

Passo 2

Observe que o geral termo da soma é
x^n(2n)!, n=0,1,2,dots
e compare com a série de Taylor de cosh(u):
cosh(u)=sumn=0^inftyu^2n(2n)!
Basta escolher u=raizx (válido pois x>=0) para ver que
sumn=0^inftyx^n(2n)! =sumn=0^inftyl(raizxr)^2n(2n)! =cosh!l(raizxr)

Passo 3

Para x>=0, raizx é real e sabemos que
cosh(t)>=1>0
para todo tinR. Logo
cosh!l(raizxr)>0,
ou seja, a série nunca se anula quando x>=0.

Resposta

Não existem soluções com x>=0.

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