Encontre todas as soluções da equação
1+x2!+x^24!+x^36!+cdots=0
Agora para o caso x<0 faça a substituição x=-y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da série infinita
1 + x2! + x^24! + x^36! + cdots = 0
Aqui o conteúdo é reconhecimento de séries de Taylor de funções elementares (funções hiperbólicas e trigonométricas). Vamos usar que a soma desta série pode ser escrita em termos de cosh ou, no caso x<0, após a substituição x=-y^2, em termos de cos.

Passo 2

Observe que, definindo u = raizx, a série se torna
sumn=0^inftyx^n(2n)! = sumn=0^inftyu^2n(2n)! = cosh(u)
Logo a equação original é
coshl(raizxr)=0

Passo 3

Sabemos que cosh(z)=0 se, e somente se,
z = i,(2k+1)pi2, kinZ
Portanto
raizx = i,(2k+1)pi2 Longrightarrow x = -,(2k+1)^2pi^24, kinZ

Passo 4

Agora, para o caso real x<0, façamos a substituição
x=-y^2, y>0
A série passa a ser
sumn=0^infty(-y^2)^n(2n)! = sumn=0^infty(-1)^ny^2n(2n)! = cos(y)
Então a equação vira
cos(y)=0 Longrightarrow y = (2k+1)pi2,;kinZ

Passo 5

Voltando a x=-y^2, obtemos
x = -l((2k+1)pi2r)^2 = -,(2k+1)^2pi^24, kinZ

Resposta

Todas as soluções da equação são
x = -,(2k+1)^2pi^24, kinZ

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