26: Demonstre que .

Passo 1

A questão pede para mostrar que limxto0 x^2cosl(1/x^2r)=0. O conteúdo principal é limites de funções e o teorema do confronto (ou squeeze theorem). Para resolver, vamos precisar da propriedade de que cos t está sempre entre -1 e 1.

Passo 2

Sabemos que para todo tinR vale a desigualdade
-1<=cos t<=1
Essa é uma propriedade básica da função cosseno.

Passo 3

Como queremos lidar com x^2cos(1/x^2), multiplicamos a desigualdade acima por x^2, que é sempre não-negativo ( x^2>=0 para todo x). Assim obtemos
-,x^2<= x^2cosl(1/x^2r)<= x^2

Passo 4

Agora avaliamos os limites das funções que “espremem” nossa expressão. Como x^2to0 quando xto0, temos
limxto0(-x^2)=0 e limxto0x^2=0

Passo 5

Finalmente, pelo teorema do confronto, se uma função fica sempre entre duas que tendem ao mesmo valor L, então ela também tende a L. Aqui, ambas as funções laterais tendem a 0, logo
limxto0x^2cosl(1/x^2r)=0

Resposta

0

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