26: Demonstre que
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que
. O conteúdo principal é limites de funções e o teorema do confronto (ou squeeze theorem). Para resolver, vamos precisar da propriedade de que
está sempre entre
e
.
Passo 2
Sabemos que para todo
vale a desigualdade
Essa é uma propriedade básica da função cosseno.
Passo 3
Como queremos lidar com
, multiplicamos a desigualdade acima por
, que é sempre não-negativo (
para todo
). Assim obtemos
Passo 4
Agora avaliamos os limites das funções que “espremem” nossa expressão. Como
quando
, temos
Passo 5
Finalmente, pelo teorema do confronto, se uma função fica sempre entre duas que tendem ao mesmo valor
, então ela também tende a
. Aqui, ambas as funções laterais tendem a 0, logo
Resposta
0