Determinar e esboçar o domínio das seguintes funções:
z=ln (5 x-2 y+4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e esboçar o domínio da função z = ln (5x - 2y + 4) . Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas, e o conteúdo principal é entender para quais valores de x e y a expressão dentro do logaritmo é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural, ln(a) , só está definido quando a > 0 . Isso significa que a expressão dentro do logaritmo deve ser maior que zero para que a função exista.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos que:
5x - 2y + 4 > 0
Então, precisamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x e y que satisfazem essa condição.

Passo 4

Vamos isolar a expressão:
5x - 2y > -4
Isso significa que todos os pares (x, y) que fizerem essa desigualdade verdadeira estarão dentro do domínio da função.

Passo 5

Para visualizar isso, podemos reorganizar a desigualdade para a forma padrão da equação de uma reta:
5x - 2y = -4
Vamos desenhar essa reta no plano xy . A área que queremos é a região onde 5x - 2y + 4 é maior que zero, ou seja, acima ou abaixo da reta, dependendo do sinal.

Passo 6

Escolhendo um ponto de teste, por exemplo, (0,0) :
5(0) - 2(0) + 4 = 4 > 0
Como (0,0) satisfaz a desigualdade, a região que contém esse ponto é o domínio da função.

Passo 7

Portanto, o domínio da função z = ln (5x - 2y + 4) é o conjunto de todos os pontos (x, y) que estão acima da reta 5x - 2y = -4 no plano xy .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos (x, y) tal que 5x - 2y + 4 > 0. Graficamente, corresponde à região acima da reta 5x - 2y = -4 no plano xy.

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