Determinar e esboçar o domínio das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e esboçar o domínio da função
. Aqui, estamos trabalhando com funções logarítmicas, e o conteúdo principal é entender para quais valores de
e
a expressão dentro do logaritmo é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural,
, só está definido quando
. Isso significa que a expressão dentro do logaritmo deve ser maior que zero para que a função exista.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos que:
Então, precisamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
e
que satisfazem essa condição.
Passo 4
Vamos isolar a expressão:
Isso significa que todos os pares
que fizerem essa desigualdade verdadeira estarão dentro do domínio da função.
Passo 5
Para visualizar isso, podemos reorganizar a desigualdade para a forma padrão da equação de uma reta:
Vamos desenhar essa reta no plano
. A área que queremos é a região onde
é maior que zero, ou seja, acima ou abaixo da reta, dependendo do sinal.
Passo 6
Escolhendo um ponto de teste, por exemplo,
:
Como
satisfaz a desigualdade, a região que contém esse ponto é o domínio da função.
Passo 7
Portanto, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
que estão acima da reta
no plano
.
Resposta
O domínio da função é o conjunto de todos os pontos
tal que
. Graficamente, corresponde à região acima da reta
no plano
.