Demonstre usando a definição de limite.
lim x 0 x^3 / 2=0

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, via definição epsilon de<a de limite, que
limxto0x^3/2=0
O conteúdo envolve a definição formal de limite de função em um ponto e manipulação de desigualdades com potências de x.

Passo 2

Pela definição de limite, devemos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que
0<|x-0|<de<a,
então
|x^3/2-0|<varepsilon
Note que
|x^3/2-0|=|x|^3/2

Passo 3

Queremos garantir
|x|^3/2<varepsilon
Para isso, basta resolver a desigualdade
|x|^3/2<varepsilonLong<=ftrightarrow |x|<varepsilon^2/3
Logo, a escolha natural é
de<a=varepsilon^2/3

Passo 4

Com de<a=varepsilon^2/3, sempre que 0<|x|<de<a temos
|x^3/2| = |x|^3/2 < de<a^3/2 = (varepsilon^2/3)^3/2 = varepsilon,
o que satisfaz a definição de limite.

Resposta

Dado varepsilon>0, tomando de<a=varepsilon^2/3 assegura que 0<|x|<de<a implica |x^3/2|<varepsilon. Portanto
limxto0x^3/2=0

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