2-26 Derive a função.
2. g(t)=ln (3+t^2)
3. f(x)=ln (x^2+3 x+5)
4. f(x)=x ln x-x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas de três funções diferentes. Vamos usar duas regras principais:
  1. Regra da cadeia para funções do tipo ln(u), cuja derivada é
ddxlnl(u(x)r)=u'(x)u(x)
  1. Regra do produto para funções como xln x, que diz
ddxl(v(x),w(x)r)=v'(x),w(x)+v(x),w'(x)

Passo 2

Para g(t)=lnl(3+t^2r), identifique u(t)=3+t^2. Então
u'(t)=ddt(3+t^2)=2t,
e aplicando a regra da cadeia,
g'(t)=u'(t)u(t)=2t3+t^2

Passo 3

Para f(x)=lnl(x^2+3x+5r), seja v(x)=x^2+3x+5. Calculamos
v'(x)=ddx(x^2+3x+5)=2x+3,
logo pela regra da cadeia
f'(x)=v'(x)v(x)=2x+3x^2+3x+5

Passo 4

Para f(x)=xln x - x, separamos em dois termos: xln x e -x.
No primeiro termo, use a regra do produto com v(x)=x e w(x)=ln x:
v'(x)=1, w'(x)=1x,
então
ddxl(xln xr)=1cdotln x + xcdot1x=ln x+1
No segundo termo, ddx(-x)=-1. Somando os resultados,
f'(x)=(ln x+1)-1=ln x

Resposta

  1. g'(t)=dfrac2t3+t^2
  2. f'(x)=dfrac2x+3x^2+3x+5
  3. f'(x)=ln x

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