Seja r(t)=lang<=e^t-1t, 2-t, ln (1+t)rang<=
Encontre o domínio de r(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função vetorial r(t) = lang<=e^t-1t, 2-t, ln (1+t)rang<=. Nosso objetivo aqui é descobrir para quais valores de t essa função está bem definida, ou seja, qual é o domínio dessa função. Para isso, vamos analisar cada componente da função e ver onde elas estão validadas matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro componente: e^t-1t. Aqui a gente tem uma fração onde o denominador é t. Sabemos que não dá pra dividir por zero, então t não pode ser zero. Isso já nos dá uma restrição: t neq 0.

Passo 3

Agora, vamos para o segundo componente: 2 - t. Essa é bem tranquila, porque é uma expressão polinomial simples. Polinômios estão definidos para todos os números reais. Então, nesse caso, não temos nenhuma restrição adicional a partir desse componente.

Passo 4

Por último, temos o ln(1 + t). O logaritmo natural só é definido quando o argumento é maior que zero. Portanto, a expressão dentro do logaritmo, que é 1 + t, precisa ser positiva:
1 + t > 0
Resolvendo essa desigualdade:
t > -1
Então, temos mais uma restrição: t tem que ser maior que -1.

Passo 5

Agora, juntando todas as restrições que encontramos:
  1. t > -1 (do logaritmo)
  2. t neq 0 (do denominador)
Isso significa que t pode ser qualquer número maior que -1, exceto o zero. Portanto, o domínio da função é todos os números reais maiores que -1, menos o zero.

Resposta

O domínio de r(t) é t in (-1, 0) cup (0, infty).

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