Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão quer que a gente descubra o valor do limite quando
se aproxima de 0 na expressão
. Isso envolve conceitos de limites e exponenciais, então vamos usar algumas fórmulas que relacionam limites com a função exponencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar nosso trabalho. Sabemos que qualquer expressão da forma
se relaciona com a função exponencial quando
tende a 0. No nosso caso, temos
, que é o mesmo que
. Então, nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, lembrando uma regra de limites importante:
onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Essa regra nos diz que se temos uma expressão dentro dos parênteses que se aproxima de 1 quando
tende a 0, podemos relacionar isso com a exponencial de
.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa expressão, identificamos que
. Então, substituímos na fórmula:
Resposta
O limite é
.