Determine o seguinte limite, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0(1-7 x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. A questão quer que a gente descubra o valor do limite quando x se aproxima de 0 na expressão (1 - 7x)^1x . Isso envolve conceitos de limites e exponenciais, então vamos usar algumas fórmulas que relacionam limites com a função exponencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar nosso trabalho. Sabemos que qualquer expressão da forma (1 + a x)^1x se relaciona com a função exponencial quando x tende a 0. No nosso caso, temos 1 - 7x , que é o mesmo que 1 + (-7x) . Então, nossa expressão fica:
(1 + (-7x))^1x

Passo 3

Agora, lembrando uma regra de limites importante:
limx to 0 (1 + a x)^1x = e^a
onde e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Essa regra nos diz que se temos uma expressão dentro dos parênteses que se aproxima de 1 quando x tende a 0, podemos relacionar isso com a exponencial de a .

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa expressão, identificamos que a = -7 . Então, substituímos na fórmula:
limx to 0 (1 - 7x)^1x = e^-7

Resposta

O limite é e^-7 .

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