Um marceneiro que possui 300 metros quadrados de madeira e deseja fazer uma caixa retangular com uma base quadrada e sem tampa, quais as dimensões da caixa que tem maior volume?

Passo 1

O enunciado diz que temos 300,m^2 de madeira para construir uma caixa sem tampa, com base quadrada de lado x e altura h. Queremos maximizar o volume da caixa. O conteúdo aqui é otimização de uma função de uma variável usando derivadas.

Passo 2

A área total de madeira usada é a soma da área da base mais das quatro faces laterais, ou seja,
x^2 + 4,x,h = 300

Passo 3

Isolando h em função de x temos
h = 300 - x^24,x

Passo 4

O volume da caixa é V = x^2,h. Substituindo h obtemos
V(x) = x^2 cdot 300 - x^24,x = 300,x - x^34

Passo 5

Para achar o máximo, derivamos V(x) em relação a x e igualamos a zero:
dVdx = 300 - 3x^24 Longrightarrow 300 - 3x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 100 Longrightarrow x = 10,
Como d^2Vdx^2|x=10 = -tfrac32,x|10 < 0, esse ponto é máximo.

Passo 6

Calculamos a altura correspondente:
h = 300 - 10^24 cdot 10 = 20040 = 5

Resposta

A caixa de maior volume tem base 10,m por 10,m e altura 5,m.

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