Um marceneiro que possui 300 metros quadrados de madeira e deseja fazer uma caixa retangular com uma base quadrada e sem tampa, quais as dimensões da caixa que tem maior volume?
Passo 1
O enunciado diz que temos de madeira para construir uma caixa sem tampa, com base quadrada de lado e altura . Queremos maximizar o volume da caixa. O conteúdo aqui é otimização de uma função de uma variável usando derivadas.
Passo 2
A área total de madeira usada é a soma da área da base mais das quatro faces laterais, ou seja,
Passo 3
Isolando em função de temos
Passo 4
O volume da caixa é . Substituindo obtemos
Passo 5
Para achar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Como , esse ponto é máximo.
Passo 6
Calculamos a altura correspondente:
h = 300 - 10^24 cdot 10 = 20040 = 5
Resposta
A caixa de maior volume tem base 10,m por 10,m e altura 5,m.