Um fazendeiro que possui 100 metros de cerca e deseja construir um curral retangular ao longo de um dos lados de um celeiro, quais as dimensões do curral que tem maior área?
Passo 1
O enunciado pede para maximizar a área de um curral retangular que tem apenas três lados cercados (dois lados laterais e o lado oposto ao celeiro), usando
metros de cerca. O lado junto ao celeiro dispensa cerca. O conteúdo é otimização de função usando derivada.
Passo 2
Definimos as variáveis: seja
a largura do curral (cada lado perpendicular ao celeiro) e seja
o comprimento do curral (lado paralelo ao celeiro e que será cercado). Como só temos cerca para três lados, a condição de perímetro é
Desse modo,
Passo 3
A área do curral em função de
é
Perceba que
é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de
negativo), logo tem um máximo.
Passo 4
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Verificando que é máximo (por exemplo
), confirmamos
dá área máxima.
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos
Portanto, a largura deve ser
m e o comprimento paralelo ao celeiro
m.
Resposta
Largura perpendicular ao celeiro:
m.
Comprimento paralelo ao celeiro: m.
Comprimento paralelo ao celeiro: