Um fazendeiro que possui 100 metros de cerca e deseja construir um curral retangular ao longo de um dos lados de um celeiro, quais as dimensões do curral que tem maior área?

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a área de um curral retangular que tem apenas três lados cercados (dois lados laterais e o lado oposto ao celeiro), usando 100 metros de cerca. O lado junto ao celeiro dispensa cerca. O conteúdo é otimização de função usando derivada.

Passo 2

Definimos as variáveis: seja x a largura do curral (cada lado perpendicular ao celeiro) e seja y o comprimento do curral (lado paralelo ao celeiro e que será cercado). Como só temos cerca para três lados, a condição de perímetro é
2x + y = 100
Desse modo,
y = 100 - 2x

Passo 3

A área do curral em função de x é
A(x) = x cdot y = x(100 - 2x) = 100x - 2x^2
Perceba que A(x) é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^2 negativo), logo tem um máximo.

Passo 4

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
A'(x) = 100 - 4x,
100 - 4x = 0 Longrightarrow x = 25
Verificando que é máximo (por exemplo A''(x) = -4 < 0), confirmamos x=25 dá área máxima.

Passo 5

Substituindo x=25 em y = 100 - 2x, obtemos
y = 100 - 2cdot 25 = 50
Portanto, a largura deve ser 25 m e o comprimento paralelo ao celeiro 50 m.

Resposta

Largura perpendicular ao celeiro: 25 m.
Comprimento paralelo ao celeiro: 50 m.

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