6.26 A força de arrasto F_{D} em uma esfera depende da velocidade V, da viscosidade \mu, da massa específica \rho, da altura da rugosidade superficial e, da flutuação da intensidade da corrente livre I (uma quantidade adimensional) e do diâmetro D. Determine uma expressão para F_{D}.

Passo 1

O enunciado pede uma expressão para a força de arrasto F_{D} em função das variáveis V (velocidade), \mu (viscosidade), \rho (massa específica), e (altura da rugosidade), I (intensidade de flutuação, adimensional) e D (diâmetro).
Conteúdo: análise dimensional via Teorema de Buckingham para obter grupos adimensionais e escrever
F_{D} = \text{const} \times (\text{variáveis})\,.á

Passo 2

Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais:
\begin{aligned} F_{D}&:\;[M L T^{-2}],\\\ \rho&:\;[M L^{-3}],\\\ V&:\;[L T^{-1}],\\\ \mu&:\;[M L^{-1} T^{-1}],\\\ D&:\;[L],\\\ e&:\;[L],\\\ I&:\;\text{adimensional}. \end{aligned}

Passo 3

Temos 7 variáveis e 3 dimensões básicas ( M,L,T), logo vamos obter 7-3=4 grupos adimensionais \Pi_{1},\dots,\Pi_{4}.

Passo 4

Escolhemos como variáveis repetidas \rho, V e D (cobrem M,L,T).
Definimos
\Pi_{1} = \frac{F_{D}}{\rho\,V^{2}\,D^{2}},\quad \Pi_{2} = \frac{\mu}{\rho\,V\,D},\quad \Pi_{3} = \frac{e}{D},\quad \Pi_{4} = I.

Passo 5

Reconhecemos \Pi_{2}=\mathrm{Re}^{-1}, onde
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,V\,D}{\mu}
é o número de Reynolds. As outras \Pi_{3} e \Pi_{4} já são adimensionais.

Passo 6

Pelo Teorema de Buckingham, \Pi_{1} é função de \Pi_{2},\Pi_{3},\Pi_{4}. Voltamos à variável original F_{D}:
\frac{F_{D}}{\rho\,V^{2}\,D^{2}} = \Phi\!\Bigl(\tfrac{\mu}{\rho V D},\,\tfrac{e}{D},\,I\Bigr) = \Phi\!\bigl(\mathrm{Re}^{-1},\,e/D,\,I\bigr).

Resposta

F_{D} = \rho\,V^{2}\,D^{2}\;\Phi\!\Bigl(\mathrm{Re}^{-1},\,\tfrac{e}{D},\,I\Bigr) \quad\text{ou equivalentemente}\quad F_{D} = \rho\,V^{2}\,D^{2}\;f\!\bigl(\mathrm{Re},\,e/D,\,I\bigr).

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