Questào 1(20 \%) : A perda de carga ( \Delta p ) de um escoamento com uma velocidade V e uma densidade p atratés de um duto de comprimento L pode ser estimada pela seguinte fórmula:
\Delta p=c \cdot V^{2} \cdot L \cdot \rho
Determine as dimensôes do coeficiente c para que a expressâo seja consistente.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula da perda de carga
\Delta p = c \cdot V^{2} \cdot L \cdot \rho
onde queremos achar as dimensões de c. O conteúdo aqui é análise dimensional, ou seja, igualar as dimensões de cada lado da fórmula.

Passo 2

Anotamos as dimensões de cada grandeza:
– A perda de carga \Delta p é uma pressão, logo
[\Delta p] = M\,L^{-1}\,T^{-2}.
– A velocidade V tem
[V] = L\,T^{-1},
então
[V^{2}] = L^{2}\,T^{-2}.
– O comprimento L tem
[L] = L.
– A densidade \rho tem
[\rho] = M\,L^{-3}.
Logo, as dimensões do produto V^{2}\,L\,\rho são
[V^{2}\,L\,\rho] = \bigl(L^{2}\,T^{-2}\bigr)\,\bigl(L\bigr)\,\bigl(M\,L^{-3}\bigr) = M\,L^{0}\,T^{-2}.

Passo 3

Para que a fórmula seja dimensionalmente consistente, deve valer
[c]\,[V^{2}\,L\,\rho] = [\Delta p].
Substituindo as dimensões conhecidas,
[c]\;\bigl(M\,L^{0}\,T^{-2}\bigr) = M\,L^{-1}\,T^{-2} \quad\Longrightarrow\quad [c] = \frac{M\,L^{-1}\,T^{-2}}{M\,L^{0}\,T^{-2}} = L^{-1}.

Resposta

As dimensões de c são L^{-1}, isto é, comprimento elevado a -1.

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