Sugere-se que a velocidade do escoamento da água de um orifício na lateral de um tanque aberto dependa da altura H do orifício da superfície, da gravidade e da massa específica da água. Qual expressão relaciona as variáveis?

Passo 1

O enunciado sugere que a velocidade de escoamento v depende da altura H, da gravidade g e da massa específica da água \rho. Vamos usar análise dimensional para encontrar como essas variáveis se combinam.

Passo 2

Suponha a forma funcional
v = C \, H^{a}\,g^{b}\,\rho^{c}
onde C é uma constante adimensional e a,b,c são expoentes a determinar. As dimensões são:
\dim[v]=L\,T^{-1}, \dim[H]=L, \dim[g]=L\,T^{-2}, \dim[\rho]=M\,L^{-3}.

Passo 3

Escrevendo as dimensões no produto:
[L\,T^{-1}] = \bigl[L\bigr]^{a}\,\bigl[L\,T^{-2}\bigr]^{b}\,\bigl[M\,L^{-3}\bigr]^{c} = M^{c}\,L^{\,a + b -3c}\,T^{-2b}.
Igualando expoentes:
  • de massa M: 0 = c \Rightarrow c=0.
  • de tempo T: -1 = -2b \Rightarrow b=\tfrac12.
  • de comprimento L: 1 = a + b -3c = a + \tfrac12 \Rightarrow a=\tfrac12.

Passo 4

Logo a dependência dimensional é
v = C \,H^{1/2}\,g^{1/2} = C\,\sqrt{g\,H},
e a massa específica \rho não aparece ( c=0).

Passo 5

Pela aplicação de Bernoulli no escoamento ideal de um tanque aberto, determina\‐se C=\sqrt{2}.

Resposta

v = \sqrt{2\,g\,H}.

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