Derive uma expressão para a velocidade de um líquido que sai de um buraco na lateral de um tanque aberto se ela depende da altura
do orifício a partir da superfície livre, da viscosidade do fluido e massa específica, da gravidade e do diâmetro do orifício.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a velocidade
de saída de um líquido através de um orifício lateral de diâmetro
em um tanque aberto, de modo que essa velocidade dependa de
– altura do orifício em relação à superfície livre,
– viscosidade dinâmica do fluido,
– massa específica do fluido,
– aceleração gravitacional,
– diâmetro do orifício.
Como queremos relacionar grandezas físicas com dimensões diferentes, vamos usar análise dimensional pelo Teorema de Buckingham .
Como queremos relacionar grandezas físicas com dimensões diferentes, vamos usar análise dimensional pelo Teorema de Buckingham
Passo 2
Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais:
–
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–
–
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–
Temos 6 variáveis e 3 dimensões básicas (
), logo surgirão
grupos adimensionais
.
Passo 3
Escolhemos como variáveis repetidoras
,
e
.
- Definimos
pois
tem dimensão
.
2. Definimos
2. Definimos
note que
tem dimensão
, mesma que
.
3. Definimos
3. Definimos
adução adimensional do diâmetro.
Passo 4
Pelo Teorema de Buckingham, a relação geral fica
Isolando
, obtemos
Em particular, para orifício pequeno (
) e fluido de alta razão entre inércia e viscosidade (
), verifica-se experimentalmente
, recuperando a lei de Torricelli
Resposta
onde
é uma função adimensional a ser determinada experimentalmente (ou numericamente) e que incorpora os efeitos de viscosidade e tamanho do orifício.