Derive uma expressão para a velocidade de um líquido que sai de um buraco na lateral de um tanque aberto se ela depende da altura H do orifício a partir da superfície livre, da viscosidade do fluido e massa específica, da gravidade e do diâmetro do orifício.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a velocidade v de saída de um líquido através de um orifício lateral de diâmetro D em um tanque aberto, de modo que essa velocidade dependa de
\,H – altura do orifício em relação à superfície livre,
\,\mu – viscosidade dinâmica do fluido,
\,\rho – massa específica do fluido,
\,g – aceleração gravitacional,
\,D – diâmetro do orifício.
Como queremos relacionar grandezas físicas com dimensões diferentes, vamos usar análise dimensional pelo Teorema de Buckingham \Pi.

Passo 2

Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais:
v\colon\,[L/T]
H\colon\,[L]
D\colon\,[L]
\mu\colon\,[M/(L\,T)]
\rho\colon\,[M/L^3]
g\colon\,[L/T^2]
Temos 6 variáveis e 3 dimensões básicas ( M,L,T), logo surgirão 6-3=3 grupos adimensionais \Pi.

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidoras \rho, g e H.
  1. Definimos
\Pi_1 = \frac{v}{\sqrt{g\,H}} \,,
pois \sqrt{gH} tem dimensão [L/T].
2. Definimos
\Pi_2 = \frac{\mu}{\rho\,\sqrt{gH}\;H}\,,
note que \rho\,\sqrt{gH}\,H tem dimensão \bigl[M/(L\,T)\bigr], mesma que \mu.
3. Definimos
\Pi_3 = \frac{D}{H}\,,
adução adimensional do diâmetro.

Passo 4

Pelo Teorema de Buckingham, a relação geral fica
\Pi_1 \;=\;\varphi\bigl(\Pi_2,\Pi_3\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{\sqrt{g\,H}} =\varphi\!\Bigl(\frac{\mu}{\rho\,\sqrt{gH}\,H},\,\frac{D}{H}\Bigr).
Isolando v, obtemos
v =\sqrt{g\,H}\;\varphi\!\Bigl(\frac{\mu}{\rho\,\sqrt{gH}\,H},\,\frac{D}{H}\Bigr).
Em particular, para orifício pequeno ( D/H\ll1) e fluido de alta razão entre inércia e viscosidade ( \Pi_2\ll1), verifica-se experimentalmente \varphi\to\sqrt{2}, recuperando a lei de Torricelli
v\approx\sqrt{2\,g\,H}.

Resposta

\boxed{ v =\sqrt{g\,H}\;\varphi\!\Bigl(\frac{\mu}{\rho\,\sqrt{gH}\,H},\,\frac{D}{H}\Bigr) }
onde \varphi é uma função adimensional a ser determinada experimentalmente (ou numericamente) e que incorpora os efeitos de viscosidade e tamanho do orifício.

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