6.27 A força de arrasto que age sobre um navio é considerada uma função da massa específica do fluido , viscosidade \mu, gravidade g, velocidade do navio V e um comprimento característico l. Determine um conjunto de números adimensionais adequados para descrever a relação F_{D}=f(, \mu, g, V, l).

Passo 1

O enunciado pede para usar análise dimensional (Teorema de Buckingham) na relação
F_{D}=f(\rho,\;\mu,\;g,\;V,\;l)
onde \rho é a massa específica do fluido, \mu a viscosidade, g a gravidade, V a velocidade e l um comprimento característico. O objetivo é encontrar três números adimensionais que descrevam essa relação.

Passo 2

Listamos as variáveis e suas dimensões fundamentais ( M massa, L comprimento, T tempo):
\begin{aligned} F_{D}&:&&\;[M\,L\,T^{-2}],\\\ \rho&:&&\;[M\,L^{-3}],\\\ \mu&:&&\;[M\,L^{-1}\,T^{-1}],\\\ g&:&&\;[L\,T^{-2}],\\\ V&:&&\;[L\,T^{-1}],\\\ l&:&&\;[L]. \end{aligned}
São 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais, logo teremos 6-3=3 \Pi-grupos.

Passo 3

Escolhemos como variáveis repetidas \rho, V e l, pois entre elas cobrem M, L e T e não aparecem juntas em uma mesma das outras variáveis base.

Passo 4

Formamos \Pi_{1} envolvendo F_{D}:
\Pi_{1}=F_{D}\,\rho^{a}\,V^{b}\,l^{c}.
Impondo adimensionalidade:
M: 1+a=0 \implies a=-1
L: 1-3a+b+c=0 \implies 1+3+b+c=0 \implies b+c=-4
T: -2-b=0 \implies b=-2
Logo c=-2 e
\Pi_{1}=\frac{F_{D}}{\rho\,V^{2}\,l^{2}}.

Passo 5

Formamos \Pi_{2} envolvendo \mu:
\Pi_{2}=\mu\,\rho^{a}\,V^{b}\,l^{c}.
Repetindo o mesmo procedimento:
M: 1+a=0 \implies a=-1
L: -1-3a+b+c=0 \implies -1+3+b+c=0 \implies b+c=-2
T: -1-b=0 \implies b=-1
Logo c=-1 e
\Pi_{2}=\frac{\mu}{\rho\,V\,l}.
Tradicionalmente define-se o número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,V\,l}{\mu}=\Pi_{2}^{-1}.

Passo 6

Formamos \Pi_{3} envolvendo g:
\Pi_{3}=g\,\rho^{a}\,V^{b}\,l^{c}.
Condições:
M: -a=0 \implies a=0
T: -2-b=0 \implies b=-2
L: 1-3a+b+c=0 \implies 1+0-2+c=0 \implies c=1
Então
\Pi_{3}=\frac{g\,l}{V^{2}},
que é o inverso do quadrado do número de Froude, já que
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{g\,l}} \quad\Longrightarrow\quad \Pi_{3}=\frac{1}{\mathrm{Fr}^{2}}.

Resposta

As três combinações adimensionais independentes são
\Pi_{1}=\frac{F_{D}}{\rho\,V^{2}\,l^{2}},\quad \mathrm{Re}=\frac{\rho\,V\,l}{\mu},\quad \Pi_{3}=\frac{g\,l}{V^{2}}\;(\text{ou }1/\mathrm{Fr}^{2}).
Portanto a relação pode ser escrita como
\frac{F_{D}}{\rho\,V^{2}\,l^{2}} =\Phi\!\Bigl(\mathrm{Re},\,\tfrac{g\,l}{V^{2}}\Bigr).

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