26- (Inclusão-exclusão)Prove o príncipio de inclusão-exclusão. Dados A1, ldots, An eventos num espaço de probabilidade ( Omega, F, P ), prove que
P(cupi=1^n Ai)= & sumi=1^n P(Ai)-sum1 <= i

Passo 1

Resumo: precisamos provar que para eventos A₁,…,Aₙ vale
Pl(cupi=1^n Air)=sumi=1^nP(Ai)-sumi
O que vamos usar: variáveis indicadoras e linearidade da esperança.

Passo 2

Definimos para cada evento A_i a variável indicadora
IAi(omega)=1,&omegain Ai,0,&omeganotin Ai
Então o indicador da união satisfaz
1cupi=1^n Ai=1-1capi=1^n Ai^c=1-prodi=1^n(1-IAi),
pois o complemento da união é a interseção dos complementos.

Passo 3

Agora expandimos o produto usando a fórmula do binômio generalizado:
prodi=1^n(1-IAi)=1-sumiIAi+sumi
Logo,
1cupi=1^n Ai=sumk=1^n(-1)^k-1sum1<= i1

Passo 4

Aplicamos esperança em ambos os lados. Como E[IB]=P(B) e a esperança é linear, obtemos
Pl(cupi=1^n Air)=sumk=1^n(-1)^k-1sum1<= i1
que é exatamente a fórmula do princípio de inclusão-exclusão.

Resposta

Pl(cupi=1^n Air)=sumi=1^nP(Ai)-sum1<= i

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