26- (Inclusão-exclusão)Prove o príncipio de inclusão-exclusão. Dados
eventos num espaço de probabilidade (
), prove que
Passo 1
Resumo: precisamos provar que para eventos A₁,…,Aₙ vale
O que vamos usar: variáveis indicadoras e linearidade da esperança.
Passo 2
Definimos para cada evento A_i a variável indicadora
Então o indicador da união satisfaz
pois o complemento da união é a interseção dos complementos.
Passo 3
Agora expandimos o produto usando a fórmula do binômio generalizado:
Logo,
Passo 4
Aplicamos esperança em ambos os lados. Como
e a esperança é linear, obtemos
que é exatamente a fórmula do princípio de inclusão-exclusão.