(Urna de Polya) Uma urna contém inicialmente uma bola branca e uma bola negra. Em cada etapa do experimento, uma bola é retirada aleatoriamente da urna, essa bola é colocada de
volta na urna e outra bola da mesma cor é adicionada. Prove que o número de bolas brancas que estão na urna depois de N etapas é um número aleatório uniforme em
. Ou seja, o evento em que o número de bolas brancas após o passo
é igual a
tem probabilidade
para cada todo
.
volta na urna e outra bola da mesma cor é adicionada. Prove que o número de bolas brancas que estão na urna depois de N etapas é um número aleatório uniforme em
Passo 1
O enunciado descreve o modelo clássico da urna de Polya: começamos com 1 bola branca e 1 bola negra, e a cada etapa retiramos uma bola aleatoriamente, a devolvemos e adicionamos mais uma da mesma cor. O objetivo é mostrar que, após N etapas, o número de bolas brancas na urna é uniformemente distribuído em {1,2,…,N+1}. Para isso, vamos usar probabilidade condicional, relação de recorrência e indução.
Passo 2
Definimos para cada N≥0 e 1≤k≤N+1 a probabilidade
Note que, após N etapas, o total de bolas na urna é inicial 2 más N adicionadas, ou seja N+2 bolas. No entanto, logo antes da N-ésima adição, havia N+1 bolas.
Passo 3
Verificamos o caso base N=0: antes de qualquer etapa há exatamente 1 bola branca, logo
e para todo k≠1 temos p_k(0)=0. Isso coincide com a afirmação de que p_k(0)=1/(0+1) para k=1.
Passo 4
Supondo a hipótese de indução de que para N−1 etapas temos p_i(N−1)=1/N para cada i∈{1,…,N}, vamos calcular p_k(N). Usando probabilidade total em função do resultado na etapa anterior e da cor sorteada na última etapa: se na etapa N−1 havia k−1 bolas brancas (probabilidade p_{k−1}(N−1)) e sorteamos branca (probabilidade (k−1)/(N+1)), então passamos a k brancas. Se havia k brancas (probabilidade p_k(N−1)) e sorteamos preta (probabilidade (N+1−k)/(N+1)), permanecemos com k brancas. Logo
Substituindo p_{k-1}(N-1)=p_k(N-1)=1/N pela hipótese de indução, obtemos
Passo 5
Assim, por indução, para todo N e todo k∈{1,2,…,N+1} vale p_k(N)=1/(N+1), concluindo que o número de bolas brancas após N etapas é uniforme em {1,…,N+1}.
Resposta
Para cada k∈{1,2,…,N+1}, temos P(número de bolas brancas após N etapas = k)=\frac{1}{N+1}.