(Urna de Polya) Uma urna contém inicialmente uma bola branca e uma bola negra. Em cada etapa do experimento, uma bola é retirada aleatoriamente da urna, essa bola é colocada de
volta na urna e outra bola da mesma cor é adicionada. Prove que o número de bolas brancas que estão na urna depois de N etapas é um número aleatório uniforme em 1,2, ldots, N+1. Ou seja, o evento em que o número de bolas brancas após o passo N é igual a k tem probabilidade 1N+1 para cada todo 1 <= k <= N+1.

Passo 1

O enunciado descreve o modelo clássico da urna de Polya: começamos com 1 bola branca e 1 bola negra, e a cada etapa retiramos uma bola aleatoriamente, a devolvemos e adicionamos mais uma da mesma cor. O objetivo é mostrar que, após N etapas, o número de bolas brancas na urna é uniformemente distribuído em {1,2,…,N+1}. Para isso, vamos usar probabilidade condicional, relação de recorrência e indução.

Passo 2

Definimos para cada N≥0 e 1≤k≤N+1 a probabilidade
pk(N)=P(número de bolas brancas após N etapas=k)úó
Note que, após N etapas, o total de bolas na urna é inicial 2 más N adicionadas, ou seja N+2 bolas. No entanto, logo antes da N-ésima adição, havia N+1 bolas.

Passo 3

Verificamos o caso base N=0: antes de qualquer etapa há exatamente 1 bola branca, logo
p1(0)=1=10+1,
e para todo k≠1 temos p_k(0)=0. Isso coincide com a afirmação de que p_k(0)=1/(0+1) para k=1.

Passo 4

Supondo a hipótese de indução de que para N−1 etapas temos p_i(N−1)=1/N para cada i∈{1,…,N}, vamos calcular p_k(N). Usando probabilidade total em função do resultado na etapa anterior e da cor sorteada na última etapa: se na etapa N−1 havia k−1 bolas brancas (probabilidade p_{k−1}(N−1)) e sorteamos branca (probabilidade (k−1)/(N+1)), então passamos a k brancas. Se havia k brancas (probabilidade p_k(N−1)) e sorteamos preta (probabilidade (N+1−k)/(N+1)), permanecemos com k brancas. Logo
pk(N)=pk-1(N-1)cdotk-1N+1+pk(N-1)cdotN+1-kN+1
Substituindo p_{k-1}(N-1)=p_k(N-1)=1/N pela hipótese de indução, obtemos
pk(N)=1Nl(k-1N+1+N+1-kN+1r)=1NcdotNN+1=1N+1

Passo 5

Assim, por indução, para todo N e todo k∈{1,2,…,N+1} vale p_k(N)=1/(N+1), concluindo que o número de bolas brancas após N etapas é uniforme em {1,…,N+1}.

Resposta

Para cada k∈{1,2,…,N+1}, temos P(número de bolas brancas após N etapas = k)=\frac{1}{N+1}.

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